import numpy as np
from scipy.linalg import lu

$\mathbb{R}_3[X]=$ polynomes à coeffs réels, de degré $\leq 3$

$f: \mathbb{R}_3[X] \rightarrow \mathbb{R}_3[X] $

$f: P \mapsto P'' - P$

1. Determiner la matrice de $f$ dans la base usuelle
2. Trouver les valeurs propres de la matrice.
3. Montrer que $f$ est inversible.
4. Trouver les solutions de $f(P) = 2X + X^3$
5. Utiliser la methode de F1 Q8 pour confirmer votre reponse

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Problème 8 (différences finies en dimension 1) Soit A la matrice tridiagonale de taille N donnée par

N = 100
A = -2 *np.identity(N).astype(int)
for i in range(N-1):
    A[i+1,i] = A[i,i+1] = 1
A

array([[-2,  1,  0, ...,  0,  0,  0],
       [ 1, -2,  1, ...,  0,  0,  0],
       [ 0,  1, -2, ...,  0,  0,  0],
       ...,
       [ 0,  0,  0, ..., -2,  1,  0],
       [ 0,  0,  0, ...,  1, -2,  1],
       [ 0,  0,  0, ...,  0,  1, -2]])