Correction

Pour déterminer le domaine de définition de la fonction $(x, y) \mapsto \frac{1}{y \sin(x)}$, il faut identifier les points où l’expression au dénominateur est nulle, car la division par zéro est interdite.

L’expression $\frac{1}{y \sin(x)}$ n’est définie que si $y \sin(x) \neq 0$.

1. $y \neq 0$ :

Le facteur $y$ au dénominateur impose que $y$ ne doit pas être égal à zéro. Autrement, cela rendrait le dénominateur nul.

2. $\sin(x) \neq 0$ :

Ensuite, il faut que $\sin(x) \neq 0$, car sinon le produit $y \sin(x)$ serait nul. Les valeurs de $x$ où $\sin(x) = 0$ sont données par : $$x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$ où $k$ est un entier.

Conclusion :

Le domaine de définition de la fonction est donc l’ensemble des couples $(x, y)$ tels que : $$(x, y) \in \mathbb{R}^2 \quad \text{avec} \quad y \neq 0 \quad \text{et} \quad x \neq k\pi \quad \text{pour} \quad k \in \mathbb{Z}.$$

En notation mathématique, le domaine est : $$D = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \mid y \neq 0 \text{ et } x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z} \}.$$ Il s’agit du complementaire de la réunion :

• la horizontale $y=0$.
• d’une infinité de droites verticales passant par les points $(k\pi, 0)$ pour $k \in \mathbb{Z}$,