Correction

La limite $\lim_{x \to 0^+} \cos\left(\frac{1}{x}\right)$ n’existe pas en raison du comportement oscillatoire de la fonction $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ à l’approche de $x = 0$.

Explication :

Lorsque $x$ s’approche de $0^+$, $\frac{1}{x}$ devient de plus en plus grand. Ainsi, l’argument de la fonction cosinus, $\frac{1}{x}$, augmente rapidement à l’infini. Or, la fonction $\cos(t)$ oscille entre $-1$ et $1$ pour tout $t$ réel.

Cela signifie que, à mesure que $x$ se rapproche de zéro par des valeurs positives, $\frac{1}{x}$ devient extrêmement grand et la fonction $\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ oscille de plus en plus vite entre $-1$ et $1$. Il n’y a pas de tendance unique vers une valeur fixe, car la fonction prend des valeurs dans cet intervalle de manière répétée et chaotique.

Effectivement :

• n paire $\cos(1/(1/(n\pi))) = \cos(n\pi) = 1$
• n impaire $\cos(1/(1/(n\pi))) = \cos(n\pi) = -1$