"correction"

Pour la fonction $f(x) = \exp(-x^2)$, voici les étapes demandées :

1. Déterminer le domaine de définition

La fonction exponentielle $\exp(x)$ est définie pour tout réel, et comme $-x^2$ est un polynôme défini pour tout réel, la fonction $f(x) = \exp(-x^2)$ est également définie sur tout $\mathbb{R}$.

Le domaine de définition est donc : $$D_f = \mathbb{R}$$

2. Calculer la dérivée

Pour calculer la dérivée de $f(x) = \exp(-x^2)$, nous devons appliquer la règle de la dérivée d’une fonction composée. Si $f(x) = \exp(g(x))$, alors la dérivée est : $$f'(x) = \exp(g(x)) \cdot g'(x)$$ Ici, $g(x) = -x^2$, donc sa dérivée est $g'(x) = -2x$.

Ainsi, la dérivée de $f(x) = \exp(-x^2)$ est : $$f'(x) = \exp(-x^2) \cdot (-2x)$$ Simplifions : $$f'(x) = -2x \exp(-x^2)$$

3. Tableau de variations

Pour déterminer le tableau de variations, analysons le signe de la dérivée $f'(x) = -2x \exp(-x^2)$. Notons que $\exp(-x^2)$ est toujours strictement positif pour tout $x \in \mathbb{R}$.

Le signe de $f'(x)$ dépend donc uniquement de $-2x$ : - Si $x > 0$, alors $-2x < 0$, donc $f'(x) < 0$ (la fonction est décroissante). - Si $x < 0$, alors $-2x > 0$, donc $f'(x) > 0$ (la fonction est croissante). - Si $x = 0$, alors $f'(0) = 0$.

La fonction présente un maximum local en $x = 0$. Calculons la valeur de la fonction à ce point : $$f(0) = \exp(0) = 1$$

Tableau de variations

Le tableau de variations de la fonction est :

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & 0 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & 0 & - & \\ \hline f(x) & \nearrow & & 1 & & \searrow \\ \end{array}$$

Conclusion

• Domaine de définition : $\mathbb{R}$
• Dérivée : $f'(x) = -2x \exp(-x^2)$
• Tableau de variations : la fonction est croissante sur $]-\infty, 0[$, décroissante sur $]0, +\infty[$, et atteint un maximum en $x = 0$ où $f(0) = 1$.