Correction

Pour la fonction $f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$, voici les étapes demandées :

1. Déterminer le domaine de définition

La fonction $f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$ est une fonction rationnelle. Elle est définie tant que le dénominateur n’est pas nul.
Il faut donc résoudre : $$x + 1 \neq 0$$ $$x \neq -1$$

Le domaine de définition est donc :
$$D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$$

2. Calculer la dérivée

Pour calculer la dérivée de $f(x) = \frac{x - 1}{x + 1}$, nous utilisons la formule de la dérivée d’un quotient : $$f'(x) = (u/v)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$$ où $u(x) = x - 1$ et $v(x) = x + 1$.

ChatGPT made an error in the LaTeX code:

$$f'(x) = \frac{(u/v)' = u'v - uv'}{v^2}$$

• La dérivée de $u(x) = x - 1$ est $u'(x) = 1$,
• La dérivée de $v(x) = x + 1$ est $v'(x) = 1$.

En appliquant la formule, nous avons : $$f'(x) = \frac{(1)(x+1) - (x-1)(1)}{(x+1)^2}$$ Simplifions l’expression : $$f'(x) = \frac{x + 1 - x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$$

3. Tableau de variations

La dérivée $f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}$ est toujours positive pour $x \neq -1$, car le carré est toujours positif et $2$ est un nombre positif. Cela signifie que la fonction est strictement croissante sur chacun des intervalles $]-\infty, -1[$ et $]-1, +\infty[$.

Il existe une asymptote verticale en $x = -1$, car la fonction n’est pas définie en ce point et tend vers $\pm \infty$ à proximité de cette valeur.

Asymptote horizontale

Il est utile de calculer la limite de la fonction lorsque $x$ tend vers $\pm \infty$ : $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x - 1}{x + 1} = 1 \quad \text{et} \quad \lim_{x \to -\infty} \frac{x - 1}{x + 1} = 1$$ La fonction admet donc une asymptote horizontale en $y = 1$.

Tableau de variations

Le tableau de variations est donc :

$$\begin{array}{c|ccccc} x & -\infty & & -1 & & +\infty \\ \hline f'(x) & & + & \text{ND} & + & \\ \hline f(x) & \nearrow & & \text{asymptote verticale} & & \nearrow \\ & & & & & \\ & & & & & \\ \end{array}$$

Conclusion

• Domaine de définition : $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$
• Dérivée : $f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}$, toujours positive sauf en $x = -1$.
• La fonction est strictement croissante et présente une asymptote verticale en $x = -1$ ainsi qu’une asymptote horizontale en $y = 1$.