Correction

Pour calculer les dérivées partielles de la fonction $f(x, y) = \frac{x^2}{x + 2y}$, nous allons d’abord calculer les dérivées par rapport à $x$ et $y$, puis examiner le domaine de définition.

1. Dérivée partielle par rapport à $x$ ($\frac{\partial f}{\partial x}$)

La fonction $f(x, y) = \frac{x^2}{x + 2y}$ est une fraction avec $x^2$ comme numérateur et $x + 2y$ comme dénominateur. Nous utiliserons ici la règle de dérivation d’un quotient :

$$\frac{\partial}{\partial x} \frac{u}{v} = \frac{v \cdot u_x - u \cdot v_x}{v^2}$$ où $u(x) = x^2$ et $v(x,y) = x + 2y$.

• Dérivée de $u(x) = x^2$ par rapport à $x$ : $2x$

• Dérivée de $v(x) = x + 2y$ par rapport à $x$ : $1$

En appliquant la règle du quotient, nous avons : $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{(x + 2y) \cdot 2x - x^2 \cdot 1}{(x + 2y)^2}$$ Cela donne : $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x(x + 2y) - x^2}{(x + 2y)^2}$$

En simplifiant : $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2x^2 + 4xy - x^2}{(x + 2y)^2}$$ $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^2 + 4xy}{(x + 2y)^2}$$

2. Dérivée partielle par rapport à $y$ ($\frac{\partial f}{\partial y}$)

Maintenant, nous dérivons $f(x, y) = \frac{x^2}{x + 2y}$ par rapport à $y$. Ici, seul le dénominateur dépend de $y$, donc nous utiliserons la meme règle.

• Dérivée de $u(x) = x^2$ par rapport à $y$ : $0$

• Dérivée de $v(x, y) = x + 2y$ par rapport à $y$ : $2$

En appliquant la règle du quotient, nous obtenons : $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{(x + 2y) \cdot 0 - x^2 \cdot 2}{(x + 2y)^2}$$ Cela donne : $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-2x^2}{(x + 2y)^2}$$

Domaine de définition

Le domaine de définition de la fonction $f(x, y) = \frac{x^2}{x + 2y}$ est déterminé par le fait que le dénominateur $x + 2y$ ne doit pas être nul, sinon la fonction ne serait pas définie.

Donc, le domaine de définition de $f(x, y)$ est : $$x + 2y \neq 0$$ ou encore : $$y \neq -\frac{x}{2}$$

Résumé

• La dérivée partielle par rapport à $x$ est : $$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x^2 + 4xy}{(x + 2y)^2}$$

• La dérivée partielle par rapport à $y$ est : $$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{-2x^2}{(x + 2y)^2}$$

• Le domaine de définition est $y \neq -\frac{x}{2}$.