Correction

Pour calculer la dérivée de la fonction $\arctan(x)$, nous devons utiliser les propriétés des fonctions trigonométriques inverses. Voici le processus détaillé :

Étape 1 : Poser l’équation

On commence par poser : $$y = \arctan(x)$$ Réciproquement, cela signifie que : $$x = \tan(y)$$ Notre objectif est de dériver cette équation par rapport à $x$.

Étape 2 : Dériver implicitement

En dérivant $\tan(y) = x$ par rapport à $x$, on utilise la règle de la dérivation implicite. La dérivée de $\tan(y)$ est $\sec^2(y) \cdot \frac{dy}{dx}$, et la dérivée de $x$ est simplement 1. Donc, on obtient : $$1 = \sec^2(y) \cdot \frac{dy}{dx}$$

Rappel : $$\sec^2(y) = \frac{1}{\cos^2(y)}$$

Étape 3 : Isoler $\frac{dy}{dx}$

On résout pour $\frac{dy}{dx}$ : $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2(y)}$$

Étape 4 : Utiliser l’identité trigonométrique

On sait que $\sec^2(y) = 1 + \tan^2(y)$. Puisque $\tan(y) = x$, on a donc : $$\sec^2(y) = 1 + x^2$$ En substituant cela dans l’équation précédente, on obtient : $$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + x^2}$$

Conclusion

La dérivée de $\arctan(x)$ est donc : $$\frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2}$$