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Exercice 14, question c)

Problème : Calculer la somme suivante :

$$S = \sum_{k=1}^{n} 2^k$$

1. Identification de la nature de la somme

Il s’agit d’une somme de termes d’une suite géométrique de raison $q = 2$.

2. Détermination des éléments clés

• Premier terme ($u_{\text{début}}$) : On remplace l’indice de départ $k = 1$ dans l’expression :

$$u_1 = 2^1 = 2$$

• Raison ($q$) : $2$
• Nombre de termes ($N$) : Calculé par $\text{indice final} - \text{indice initial} + 1$, soit :

$$n - 1 + 1 = n$$

3. Application de la formule de la somme

Pour une suite géométrique, la formule est :

$$\text{Somme} = (\text{Premier terme}) \times \frac{1 - q^{\text{Nombre de termes}}}{1 - q}$$

En substituant nos valeurs :

$$S = 2 \times \frac{1 - 2^n}{1 - 2} = 2 \times \frac{1 - 2^n}{-1} = -2(1 - 2^n)$$

Résultat final

$$S = 2^{n+1} - 2$$

Exercice 15, question b)

Problème : Calculer la somme suivante :

$$S = \sum_{k=1}^{n} (2k + 5)$$

1. Identification de la nature de la somme

Le terme général $u_k = 2k + 5$ est une expression affine en $k$, ce qui signifie qu’il s’agit d’une somme de termes d’une suite arithmétique.

2. Détermination des éléments clés

• Premier terme ($u_1$) : Pour $k = 1$,

$$u_1 = 2(1) + 5 = 7$$

• Dernier terme ($u_n$) : Pour $k = n$,

$$u_n = 2n + 5$$

• Nombre de termes ($N$) : De $k = 1$ à $k = n$, il y a :

$$n - 1 + 1 = n \text{ termes}$$

3. Application de la formule de la somme

Pour une suite arithmétique, la formule est :

$$\text{Somme} = \text{Nombre de termes} \times \frac{\text{Premier terme} + \text{Dernier terme}}{2}$$

En substituant nos valeurs :

$$S = n \times \frac{7 + (2n + 5)}{2} = n \times \frac{2n + 12}{2}$$

En simplifiant par 2 :

$$S = n(n + 6)$$

Résultat final

$$S = n^2 + 6n$$