Excellent ! Je vais calculer les primitives en utilisant la méthode de la décomposition en éléments simples (D.E.S.) pour les intégrales de fonctions rationnelles.

a) Calcul de $\int \frac{dx}{x(x+1)}$

1. Décomposition en éléments simples (D.E.S.) : Nous cherchons $A$ et $B$ tels que : $$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+1}$$ En multipliant par $x(x+1)$, on obtient : $$1 = A(x+1) + Bx$$
   • Pour $x=0$ : $1 = A(1) \implies A = 1$
   • Pour $x=-1$ : $1 = B(-1) \implies B = -1$ D’où : $$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$$
2. Intégration : $$\int \frac{dx}{x(x+1)} = \int \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} \right) dx$$ $$= \int \frac{1}{x} dx - \int \frac{1}{x+1} dx$$ $$= \ln|x| - \ln|x+1| + C$$ En utilisant la propriété des logarithmes ($\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$) : $$\int \frac{dx}{x(x+1)} = \ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + C$$

b) Calcul de $\int \frac{dt}{(t+2)(t+3)}$

1. D.E.S. : Nous cherchons $A$ et $B$ tels que : $$\frac{1}{(t+2)(t+3)} = \frac{A}{t+2} + \frac{B}{t+3}$$ En multipliant par $(t+2)(t+3)$ : $$1 = A(t+3) + B(t+2)$$
   • Pour $t=-2$ : $1 = A(-2+3) \implies A = 1$
   • Pour $t=-3$ : $1 = B(-3+2) \implies 1 = -B \implies B = -1$ D’où : $$\frac{1}{(t+2)(t+3)} = \frac{1}{t+2} - \frac{1}{t+3}$$
2. Intégration : $$\int \frac{dt}{(t+2)(t+3)} = \int \left( \frac{1}{t+2} - \frac{1}{t+3} \right) dt$$ $$= \ln|t+2| - \ln|t+3| + C$$ $$\int \frac{dt}{(t+2)(t+3)} = \ln\left|\frac{t+2}{t+3}\right| + C$$

c) Calcul de $\int \frac{ds}{s^2-1}$

1. Factorisation et D.E.S. : Nous factorisons le dénominateur : $s^2-1 = (s-1)(s+1)$. Nous cherchons $A$ et $B$ tels que : $$\frac{1}{s^2-1} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s+1}$$ En multipliant par $s^2-1$ : $$1 = A(s+1) + B(s-1)$$
   • Pour $s=1$ : $1 = A(1+1) \implies 1 = 2A \implies A = \frac{1}{2}$
   • Pour $s=-1$ : $1 = B(-1-1) \implies 1 = -2B \implies B = -\frac{1}{2}$ D’où : $$\frac{1}{s^2-1} = \frac{1/2}{s-1} - \frac{1/2}{s+1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s+1} \right)$$
2. Intégration : $$\int \frac{ds}{s^2-1} = \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{s-1} - \frac{1}{s+1} \right) ds$$ $$= \frac{1}{2} \left( \ln|s-1| - \ln|s+1| \right) + C$$ $$\int \frac{ds}{s^2-1} = \frac{1}{2} \ln\left|\frac{s-1}{s+1}\right| + C$$ Parfait. Je continue les calculs pour les exercices d) et e), toujours en utilisant la décomposition en éléments simples.

d) Calcul de $\int \frac{dx}{x^2-3x+2}$

1. Factorisation du dénominateur : Nous trouvons les racines de $x^2-3x+2=0$ : $(x-1)(x-2)$. $$\int \frac{dx}{(x-1)(x-2)}$$

2. Décomposition en éléments simples (D.E.S.) : Nous cherchons $A$ et $B$ tels que : $$\frac{1}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$$ En multipliant par $(x-1)(x-2)$ : $1 = A(x-2) + B(x-1)$.

   • Pour $x=1$ : $1 = A(1-2) \implies A = -1$
   • Pour $x=2$ : $1 = B(2-1) \implies B = 1$ D’où : $$\frac{1}{x^2-3x+2} = \frac{-1}{x-1} + \frac{1}{x-2} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1}$$

3. Intégration : $$\int \frac{dx}{x^2-3x+2} = \int \left( \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-1} \right) dx$$ $$= \ln|x-2| - \ln|x-1| + C$$ $$\int \frac{dx}{x^2-3x+2} = \ln\left|\frac{x-2}{x-1}\right| + C$$

e) Calcul de $\int \frac{dx}{x^2-5x+6}$

1. Factorisation du dénominateur : Nous trouvons les racines de $x^2-5x+6=0$ : $(x-2)(x-3)$. $$\int \frac{dx}{(x-2)(x-3)}$$

2. D.E.S. : Nous cherchons $A$ et $B$ tels que : $$\frac{1}{(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x-3}$$ En multipliant par $(x-2)(x-3)$ : $1 = A(x-3) + B(x-2)$.

   • Pour $x=2$ : $1 = A(2-3) \implies A = -1$
   • Pour $x=3$ : $1 = B(3-2) \implies B = 1$ D’où : $$\frac{1}{x^2-5x+6} = \frac{-1}{x-2} + \frac{1}{x-3} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2}$$

3. Intégration : $$\int \frac{dx}{x^2-5x+6} = \int \left( \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-2} \right) dx$$ $$= \ln|x-3| - \ln|x-2| + C$$ $$\int \frac{dx}{x^2-5x+6} = \ln\left|\frac{x-3}{x-2}\right| + C$$

Je continue avec les exercices f), g) et h).

f) Calcul de $\int \frac{dy}{y^2+4y+4}$

1. Factorisation du dénominateur : Le dénominateur est un carré parfait : $y^2+4y+4 = (y+2)^2$. $$\int \frac{dy}{(y+2)^2}$$

2. Intégration par substitution : Nous posons $u = y+2$, donc $du = dy$. $$\int \frac{du}{u^2} = \int u^{-2} du$$ $$= \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C$$

3. Retour à la variable $y$ : $$-\frac{1}{y+2} + C$$ $$\int \frac{dy}{y^2+4y+4} = -\frac{1}{y+2} + C$$

g) Calcul de $\int \frac{du}{u^2-2u+1}$

1. Factorisation du dénominateur : Le dénominateur est un carré parfait : $u^2-2u+1 = (u-1)^2$. $$\int \frac{du}{(u-1)^2}$$

2. Intégration par substitution : Nous posons $v = u-1$, donc $dv = du$. $$\int \frac{dv}{v^2} = \int v^{-2} dv$$ $$= \frac{v^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{v} + C$$

3. Retour à la variable $u$ : $$-\frac{1}{u-1} + C$$ $$\int \frac{du}{u^2-2u+1} = -\frac{1}{u-1} + C$$

h) Calcul de $\int \frac{x-3}{x^2-6x+9}dx$

1. Factorisation et simplification : Le dénominateur est un carré parfait : $x^2-6x+9 = (x-3)^2$. L’intégrale devient : $$\int \frac{x-3}{(x-3)^2} dx$$ Pour $x \neq 3$, nous pouvons simplifier la fraction : $$\int \frac{1}{x-3} dx$$

2. Intégration : C’est une primitive de la forme $\int \frac{u'}{u}$, avec $u=x-3$ et $u'=1$. $$\int \frac{1}{x-3} dx = \ln|x-3| + C$$ $$\int \frac{x-3}{x^2-6x+9}dx = \ln|x-3| + C$$

J’ai maintenant calculé toutes les primitives demandées dans l’Exercice 11.