Exercice 7 : Inéquations polynomiales

Pour résoudre ces inéquations, nous allons étudier le signe des polynômes en trouvant leurs racines (là où l’expression vaut 0).

(a) $x^2 - 2x - 3 > 0$

1. Trouver les racines ($x^2 - 2x - 3 = 0$) :
   • Discriminant $\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16$.
   • $\Delta > 0$, donc deux racines : $$x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2} = \frac{2 - 4}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2} = \frac{2 + 4}{2} = 3$$
2. Tableau de signes : Un polynôme du second degré ($ax^2+bx+c$) est du signe de $a$ (ici $1 > 0$, donc positif) à l’extérieur des racines.
3. Solution : On cherche où l’expression est strictement positive ($>0$). $$S = ]-\infty; -1[ \cup ]3; +\infty[$$

(b) $2x^2 - 7x + 3 \leq 0$

1. Trouver les racines :
   • $\Delta = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25$.
   • Racines : $$x_1 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$ $$x_2 = \frac{7 + 5}{4} = \frac{12}{4} = 3$$
2. Signe : Le coefficient $a=2$ est positif. Le polynôme est négatif ou nul entre les racines.
3. Solution : $$S = \left[\frac{1}{2}; 3\right]$$

(c) $x^4 + 3x^2 - 4 \leq 0$

C’est une inéquation bicarrée. Posons $X = x^2$ (avec $X \geq 0$). L’inéquation devient : $X^2 + 3X - 4 \leq 0$. 1. Racines de l’équation en X : * Racine évidente : $X_1 = 1$ (car $1+3-4=0$). * Produit des racines $P = c/a = -4$, donc $X_2 = -4$. 2. Signe en X : Négatif entre les racines $[-4; 1]$. Donc on doit avoir $-4 \leq X \leq 1$. 3. Retour à x : * $-4 \leq x^2 \leq 1$. * $x^2 \geq -4$ est toujours vrai (un carré est toujours positif). * Il reste $x^2 \leq 1$, ce qui équivaut à $-1 \leq x \leq 1$. 4. Solution : $$S = [-1; 1]$$

Exercice 8 : Valeurs absolues

La valeur absolue $|x - a|$ s’interprète graphiquement comme la distance entre le point $x$ et le point $a$ sur la droite réelle.

(a) $|x + 3| \geq 1$

• Forme canonique : $|x - (-3)| \geq 1$.
• Interprétation graphique : La distance entre $x$ et le point $-3$ doit être supérieure ou égale à 1.
  • On part de $-3$. On recule de 1 (vers $-4$) et on avance de 1 (vers $-2$).
  • On veut être à l’extérieur de cette zone.
• Résolution algébrique : $x + 3 \geq 1 \Rightarrow x \geq -2$ OU $x + 3 \leq -1 \Rightarrow x \leq -4$
• Solution : $$S = ]-\infty; -4] \cup [-2; +\infty[$$

(b) $1 < |1 - x| \leq 5$

• Note : $|1 - x| = |x - 1|$.
• Interprétation graphique : La distance entre $x$ et le point $1$ doit être strictement supérieure à 1 ET inférieure ou égale à 5.
  • Centre : $1$.
  • Zone interdite (trop proche) : $]1-1; 1+1[ = ]0; 2[$.
  • Zone maximale (éloignement max) : $[1-5; 1+5] = [-4; 6]$.
  • On prend la zone maximale privée du centre.
• Résolution algébrique :
  • $|x-1| > 1 \Leftrightarrow x > 2$ ou $x < 0$.
  • $|x-1| \leq 5 \Leftrightarrow -5 \leq x-1 \leq 5 \Leftrightarrow -4 \leq x \leq 6$.
  • Intersection des deux conditions.
• Solution : $$S = [-4; 0[ \cup ]2; 6]$$

(c) $|x + 3| = |x - 5|$

• Forme canonique : $|x - (-3)| = |x - 5|$.
• Interprétation graphique : $x$ est à égale distance de $-3$ et de $5$. C’est le point milieu du segment $[-3; 5]$.
  • Milieu $m = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$.
• Résolution algébrique : $x + 3 = x - 5$ (impossible car $3 \neq -5$) OU $x + 3 = -(x - 5) \Rightarrow x + 3 = -x + 5 \Rightarrow 2x = 2 \Rightarrow x = 1$.
• Solution : $$S = \{1\}$$

(d) $|x + 1| = |x^2 + x - 2|$

• Interprétation graphique : On cherche les abscisses des points d’intersection entre la courbe $y = |x+1|$ et la courbe $y = |x^2+x-2|$.

• Résolution algébrique : $|A| = |B| \Leftrightarrow A = B$ ou $A = -B$.

  Cas 1 : $x^2 + x - 2 = x + 1$ $$x^2 - 3 = 0$$ $$x^2 = 3 \Rightarrow x = \sqrt{3} \text{ ou } x = -\sqrt{3}$$

  Cas 2 : $x^2 + x - 2 = -(x + 1)$ $$x^2 + x - 2 = -x - 1$$ $$x^2 + 2x - 1 = 0$$ Calcul du discriminant $\Delta = 2^2 - 4(1)(-1) = 4 + 4 = 8$. $$x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}$$

• Solution : $$S = \{-\sqrt{3}; \sqrt{3}; -1-\sqrt{2}; -1+\sqrt{2}\}$$