Soit la fonction $$f(x)=\tfrac12 x+2+\ln \frac{x-1}{x+1}.$$

1) Ensemble de définition $\mathcal D_f$

La quantité à l’intérieur du logarithme doit être strictement positive : $$\frac{x-1}{x+1}>0 \iff (x-1)(x+1)>0.$$ Les racines sont $x=-1$ et $x=1$ ; le produit est positif sur $(-\infty,-1)$ et $(1,+\infty)$. Donc $$\boxed{\mathcal D_f = (-\infty,-1)\cup(1,+\infty).}$$

2) Limites aux bornes de $\mathcal D_f$ et asymptotes verticales

Étudions les bornes $x\to -1^-$, $x\to1^+$, $x\to\pm\infty$.

• Pour $x\to1^+$ : $x-1\to0^+$ et $x+1\to2$, donc $\dfrac{x-1}{x+1}\to0^+$, donc $\ln!\frac{x-1}{x+1}\to -\infty$. Ainsi

  $$ f(x)\xrightarrow[x\to1^+]{} -\infty. .$$ D’où une asymptote verticale en (x=1).

• Pour $x\to -1^-$ : $x-1\to -2$ (≈ constante négative) et $x+1\to 0^-$, donc $\dfrac{x-1}{x+1}\to +\infty$ (négatif / négatif → positif très grand), donc $\ln\frac{x-1}{x+1}\to +\infty$. Ainsi $$ f(x)\xrightarrow[x\to-1^-]{} +\infty. $$ D’où une asymptote verticale en (x=-1).

• Pour $x\to +\infty$ : $\dfrac{x-1}{x+1}\to 1$ donc $\ln\frac{x-1}{x+1}\to 0$. Alors $$f(x)=\frac{x}{2}+2+\ln\frac{x-1}{x+1}\sim \frac{x}{2}+2\to +\infty.$$ On cherchera une asymptote oblique de pente (1/2) (voir question 5).

• Pour $x\to -\infty$ : encore $\dfrac{x-1}{x+1}\to 1$ donc $\ln\to0$ et $$f(x)\sim\frac{x}{2}+2\to -\infty.$$

Conclusion : les deux bornes (x=-1) et (x=1) sont des asymptotes verticales (notées (D_1: x=-1) et (D_2: x=1)).

3. Dérivée (f’) et étude de son signe

Écrivons la partie logarithmique comme ((x-1)-(x+1)). On a $$f'(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}.$$ Calculons la somme des deux dernières fractions : $$\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}=\frac{(x+1)-(x-1)}{(x-1)(x+1)}=\frac{2}{x^2-1}.$$ Donc $$\boxed{,f'(x)=\frac12+\frac{2}{x^2-1}=\frac{x^2+3}{2(x^2-1)}.}$$

Étudions le signe de (f’) sur (D_f) :

• Le numérateur $x^2+3>0$ pour tout (x).
• Le dénominateur $2(x^2-1)$ a le signe de $x^2-1$, qui est positif pour $|x|>1$.

Comme la définition exclut l’intervalle ((-1,1)), sur chaque composante du domaine $|x|>1$ on a $x^2-1>0$. Ainsi $f'(x)>0$ pour tout $x\in\mathcal D_f$.

Donc (f) est strictement croissante sur $(-\infty,-1)$ et sur $(1,+\infty)$.

4. Tableau de variations

Récapitulons les limites et la monotonie :

• Sur ((-,-1)) : (f(x)) est strictement croissante, $\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim_{x\to-1^-}f(x)=+\infty$.

• Sur ((1,+)) : (f(x)) est strictement croissante, ({x^+}f(x)=-) et ({x+}f(x)=+).

Tableau de variations (schématiquement) :

Voici une version propre du tableau sous forme de tableau Markdown, fidèle au sens du tableau de variations :

(Le sens () indique croissance sur chacune des deux composantes.)

5. Asymptote oblique $\Delta$ et position de $\mathcal C_f$ par rapport à $\Delta$

Cherchons une droite de la forme $y=\frac12 x+b$ telle que $$\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(\tfrac12 x+b)\big)=0.$$ Calculons $$f(x)-\frac{x}{2}=2+\ln\frac{x-1}{x+1}.$$ Lorsque $x\to\pm\infty$, $\dfrac{x-1}{x+1}\to1$ donc $\ln\frac{x-1}{x+1}\to0$. Donc $$\lim_{x\to\pm\infty}\Big(f(x)-\frac{x}{2}\Big)=2.$$ Ainsi on peut choisir (b=2) et on a l’asymptote oblique $$\boxed{\Delta:; y=\frac{x}{2}+2.}$$

Position relative : pour (x>1), $\dfrac{x-1}{x+1}<1$ donc $\ln\frac{x-1}{x+1}<0$ ; donc $$f(x)=\frac{x}{2}+2+\ln\frac{x-1}{x+1}<\frac{x}{2}+2,$$ la courbe est sous la droite $\Delta$ sur $(1,+\infty)$, et approche $\Delta$ par en dessous lorsque $x\to+\infty$.

Pour (x<-1), $\dfrac{x-1}{x+1}>1$ (exemple $x=-10\Rightarrow\frac{-11}{-9}>1)$, donc $\ln\frac{x-1}{x+1}>0$ ; ainsi $$f(x)=\frac{x}{2}+2+\ln\frac{x-1}{x+1}>\frac{x}{2}+2,$$ la courbe est au-dessus de $\Delta$ sur $(-\infty,-1)$, et approche $\Delta$ par le dessus lorsque $x\to-\infty$.

Remarque : l’équation $f(x)=\tfrac{x}{2}+2$ équivaut à $\ln\frac{x-1}{x+1}=0$, i.e. $\frac{x-1}{x+1}=1$, impossible pour (x) fini; donc la courbe ne coupe jamais $\Delta$.

6. Tracé (description)

• Domaine : deux branches distinctes, une pour (x<-1) et une pour (x>1).
• Verticales : asymptotes (x=-1) (branche gauche tend vers $+\infty$ en $x\to-1^-)$ et (x=1) (branche droite tend vers $-\infty$ en $x\to1^+$).
• Oblique : droite $\Delta:y=\tfrac12 x+2$ est asymptote aux deux branches (à gauche la courbe est au-dessus, à droite la courbe est en dessous).
• Monotonie : chaque branche est strictement croissante, allant de $-\infty$ à $+\infty$ sur les intervalles respectifs $(-\infty,-1)$ et $(1,+\infty)$.

(Tracer : pour (x) proche de (-) la branche approche () par le dessus ; en remontant elle croise les hauteurs puis diverge vers (+) quand (x^-). Pour (x>1) la branche part de (-) au voisinage de (1^+), remonte, reste sous () et approche () par dessous quand (x+).)