🚀 Exercice 27 : Étude de la fonction $f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$

1. Ensemble de définition et continuité

La fonction $f(x)$ est une fonction rationnelle construite à partir de l’exponentielle ($e^x$).

• Définition : La fonction $f(x)$ est définie si et seulement si son dénominateur est non nul. $$e^x + 1 \ne 0$$ Puisque la fonction exponentielle $e^x$ est toujours strictement positive ($e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$), alors $e^x + 1$ est toujours strictement supérieur à 1. $$e^x + 1 \ge 1 > 0$$ Le dénominateur ne s’annule jamais. Donc, l’ensemble de définition de $f$ est $\mathcal{D}_f = \mathbf{\mathbb{R}}$.

• Continuité :

  • La fonction $x \mapsto e^x$ est continue sur $\mathbb{R}$.
  • Le numérateur ($e^x - 1$) et le dénominateur ($e^x + 1$) sont des sommes/différences de fonctions continues, ils sont donc continus sur $\mathbb{R}$.
  • $f(x)$ est le quotient de deux fonctions continues, et le dénominateur ($e^x + 1$) est non nul sur $\mathbb{R}$. Donc, $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

2. Parité de la fonction

Pour montrer que $f$ est impaire, nous devons vérifier si $f(-x) = -f(x)$.

• Calcul de $f(-x)$ : $$f(-x) = \frac{e^{-x} - 1}{e^{-x} + 1}$$ Pour simplifier l’expression, on remplace $e^{-x}$ par $\frac{1}{e^x}$ et on multiplie le numérateur et le dénominateur par $e^x$ : $$f(-x) = \frac{\frac{1}{e^x} - 1}{\frac{1}{e^x} + 1} = \frac{\frac{1 - e^x}{e^x}}{\frac{1 + e^x}{e^x}} = \frac{1 - e^x}{1 + e^x}$$

• Comparaison avec $-f(x)$ : $$-f(x) = - \left( \frac{e^x - 1}{e^x + 1} \right) = \frac{-(e^x - 1)}{e^x + 1} = \frac{-e^x + 1}{e^x + 1} = \frac{1 - e^x}{e^x + 1}$$

Puisque $f(-x) = -f(x)$, la fonction $f$ est impaire. L’étude de la fonction peut donc être réduite à $\mathbf{\mathbb{R}^+}$. La courbe représentative sera symétrique par rapport à l’origine du repère.

3. Étude des limites

a) Limite en $+\infty$

$$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$$ C’est une forme indéterminée de type $\frac{\infty}{\infty}$. On factorise par le terme dominant $e^x$ au numérateur et au dénominateur : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^x(1 - \frac{1}{e^x})}{e^x(1 + \frac{1}{e^x})} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1 - \frac{1}{e^x}}{1 + \frac{1}{e^x}}$$ Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0$, on obtient : $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{1 - 0}{1 + 0} = \mathbf{1}$$ La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote horizontale d’équation $y=1$ en $+\infty$.

b) Limite en $-\infty$

Puisque $f$ est impaire et $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 1$, on en déduit directement la limite en $-\infty$ : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{X \to +\infty} f(-X)$$ Comme $f(-X) = -f(X)$ : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{X \to +\infty} -f(X) = -1$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \mathbf{-1}$$ La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote horizontale d’équation $y=-1$ en $-\infty$.

Réponse à la question subsidiaire : Oui, il aurait pu être plus simple de calculer d’abord la limite en $-\infty$. $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$$ Comme $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$, on obtient : $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1$$ Et d’en déduire $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -(-1) = 1$ par imparité.

4. Calcul de $f'(x)$ et étude de son signe

$f(x)$ est de la forme $\frac{u}{v}$, avec $u(x) = e^x - 1$ et $v(x) = e^x + 1$. Les dérivées sont $u'(x) = e^x$ et $v'(x) = e^x$. On utilise la formule de dérivation du quotient : $f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

$$f'(x) = \frac{e^x(e^x + 1) - (e^x - 1)e^x}{(e^x + 1)^2}$$ On factorise par $e^x$ au numérateur : $$f'(x) = \frac{e^x \left[ (e^x + 1) - (e^x - 1) \right]}{(e^x + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{e^x \left[ e^x + 1 - e^x + 1 \right]}{(e^x + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{e^x (2)}{(e^x + 1)^2}$$ $$\mathbf{f'(x) = \frac{2e^x}{(e^x + 1)^2}}$$

Signe de $f'(x)$ : * $e^x > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. * $(e^x + 1)^2 > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ (carré d’un terme non nul). * $2 > 0$.

Par conséquent, $f'(x)$ est strictement positive sur $\mathbb{R}$.

5. Tableau de variations et tracé de la courbe

Puisque $f'(x) > 0$ sur $\mathbb{R}$, la fonction $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

De plus, calculons $f(0)$ : $$f(0) = \frac{e^0 - 1}{e^0 + 1} = \frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$$ La courbe passe par l’origine $\mathbf{(0, 0)}$ (ce qui confirme la propriété d’imparité).

Tracé de la courbe représentative : La courbe $\mathcal{C}_f$ monte strictement de l’asymptote $y=-1$ vers l’asymptote $y=1$, en passant par l’origine $(0, 0)$.