Exercice 17 : Continuité des fonctions

Pour que la fonction $f$ (qui peut être $f_1$ ou $f_2$) soit continue sur $\mathbb{R}$, elle doit être continue sur les intervalles où elle est définie par une seule expression, et continue au point de raccordement.

Comme les deux expressions sont des polynômes, elles sont continues sur leurs intervalles respectifs. La continuité sur tout $\mathbb{R}$ dépend donc uniquement de la continuité en $x=1$.

Pour qu’une fonction soit continue en $x=1$, il faut : $$\lim_{x\to1^-} f(x) = \lim_{x\to1^+} f(x) = f(1)$$

A. Cas de la fonction $f_1(x)$

$$f_1(x)= \begin{cases} 2x+b & \text{si } x\ge 1 \\ x^2 - bx + 3 & \text{si } x<1 \end{cases}$$

1. Limite à gauche ($x\to 1^-$)
   $$\lim_{x\to1^-} f_1(x) = 1^2 - b(1) + 3 = 4 - b$$

2. Limite à droite et valeur en $x=1$
   $$f_1(1) = 2(1) + b = 2 + b$$

3. Condition de continuité
   $$4 - b = 2 + b$$ $$b = 1$$

B. Cas de la fonction $f_2(x)$

$$f_2(x)= \begin{cases} bx^2 - x + 1 & \text{si } x>1 \\ -bx^2 + 3x + 1 & \text{si } x\le 1 \end{cases}$$

1. Limite à gauche et valeur en $x=1$
   $$f_2(1) = -b + 3 + 1 = 4 - b$$

2. Limite à droite ($x\to 1^+$)
   $$\lim_{x\to1^+} f_2(x) = b$$

3. Condition de continuité
   $$4 - b = b$$ $$b = 2$$

Résultats : - $f_1$ est continue sur $\mathbb{R}$ lorsque $b = 1$.
- $f_2$ est continue sur $\mathbb{R}$ lorsque $b = 2$.

Exercice 18 : Dérivée et variations de la fonction

On considère la fonction : $$f(x) = 3x^2 - 5x$$

1. Calcul de la dérivée

La dérivée est : $$f'(x) = 6x - 5$$

2. Étude du signe de $f'(x)$

On résout : $$f'(x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad 6x - 5 = 0$$ $$x = \frac{5}{6}$$

• Pour $x < \frac{5}{6}$ :
  $f'(x) < 0$ donc $f$ est décroissante.

• Pour $x > \frac{5}{6}$ :
  $f'(x) > 0$ donc $f$ est croissante.

3. Valeur du minimum

$$f\!\left(\frac{5}{6}\right) = 3\left(\frac{5}{6}\right)^2 - 5\left(\frac{5}{6}\right) = \frac{25}{12} - \frac{50}{12} = -\frac{25}{12}$$

4. Tableau de variation

La fonction :

• décroît sur $(-\infty, \frac{5}{6})$
  
• atteint un minimum égal à $-\frac{25}{12}$ en $x=\frac{5}{6}$
  
• croît sur $(\frac{5}{6}, +\infty)$