Exercise 14

• Résolution d’équations et d’inéquations impliquant des fonctions exponentielles et logarithmes

a)

$$\ln(1 - 2x) = \ln(x + 2) + \ln 3$$ Solution : $x = -1$.

b)

$$2e^{2x} - 5e^{x} = -2$$ Solutions : $x = \ln 2$ et $x = -\ln 2$.

Solution détaillée

Équation : $$2e^{2x} - 5e^{x} = -2.$$

1. Substitution

On pose
$$y = e^x \quad\text{(avec } y>0\text{)}.$$

Alors
$$e^{2x} = (e^x)^2 = y^2.$$

L’équation devient : $$2y^2 - 5y = -2,$$ ou encore $$2y^2 - 5y + 2 = 0.$$

2. Résolution du trinôme

Discriminant : $$\Delta = (-5)^2 - 4\cdot2\cdot2 = 25 - 16 = 9.$$

Donc
$$y = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}.$$

D’où : $$y_1 = \frac{8}{4} = 2, \qquad y_2 = \frac{2}{4} = \frac12.$$

3. Retour à la variable $x$

Comme $y = e^x$ :

• Si $e^x = 2$, alors
  $$x = \ln 2.$$
• Si $e^x = \tfrac12$, alors
  $$x = \ln\left(\tfrac12\right) = -\ln 2.$$

4. Réponse finale

$$\boxed{x = \ln 2 \quad\text{ou}\quad x = -\ln 2}$$

c)

$$\ln(2 - x) \le \ln(2x + 1) - \ln 3$$ Solution : $[1,\,2)$.

d)

$$e^{x^2} = \frac12$$ Solution : aucune (impossible).

e)

$$e^{x+1} = 2$$ Solution : $x = \ln 2 - 1$.

f)

$$(2x - 7)\ln(x + 2) > 0$$ Solution : $(-2,-1) \cup (\tfrac{7}{2},\infty)$.

g)

$$e^{2x} > 3e^{x}$$ Solution : $(\ln 3,\infty)$.

h)

$$e^{x - 1} \le 1$$ Solution : $(-\infty,1]$.

i)

$$\frac{e^x - 1}{e^{-x/2} - e^{x/2}} = 3$$ Solution : aucune (pas de solution réelle).