La projection orthogonale $H$ du point $M$ sur la droite $\mathcal{D}$ est le point d’intersection de $\mathcal{D}$ et de la droite $L$ qui passe par $M$ et est perpendiculaire à $\mathcal{D}$.

Exercice 39. Projection orthogonale du point $M$ sur la droite $\mathcal{D}$

a) $M = \left(\frac{3}{2}, 2\right)$, $\mathcal{D}: 2x + y = 3$

Étape 1 : Déterminer la droite $L$ perpendiculaire à $\mathcal{D}$ passant par $M$.

1. Le vecteur normal de $\mathcal{D}$ est $\vec{n}_{\mathcal{D}} = (2, 1)$.
2. Le vecteur directeur $\vec{u}_{\mathcal{D}}$ de $\mathcal{D}$ est perpendiculaire à $\vec{n}_{\mathcal{D}}$, donc $\vec{u}_{\mathcal{D}} = (-1, 2)$ ou $(1, -2)$.
3. La droite $L$ doit être perpendiculaire à $\mathcal{D}$, donc son vecteur directeur $\vec{u}_L$ est colinéaire au vecteur normal de $\mathcal{D}$ : $\vec{u}_L = (2, 1)$.
4. L’équation paramétrique de $L$ passant par $M(\frac{3}{2}, 2)$ est : $$L: \begin{cases} x(t) = \frac{3}{2} + 2t \\ y(t) = 2 + t \end{cases}$$

Étape 2 : Trouver le point d’intersection $H$ (projection).

On substitue les coordonnées de $L$ dans l’équation cartésienne de $\mathcal{D}$ : $$2x + y = 3$$ $$2\left(\frac{3}{2} + 2t\right) + (2 + t) = 3$$ $$3 + 4t + 2 + t = 3$$ $$5t + 5 = 3$$ $$5t = -2 \Rightarrow t = -\frac{2}{5}$$

Étape 3 : Calculer les coordonnées de $H$.

On utilise $t = -2/5$ dans l’équation de $L$ : $$x_H = \frac{3}{2} + 2\left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{3}{2} - \frac{4}{5} = \frac{15 - 8}{10} = \frac{7}{10}$$ $$y_H = 2 + \left(-\frac{2}{5}\right) = \frac{10}{5} - \frac{2}{5} = \frac{8}{5}$$

La projection orthogonale est $\mathbf{H = \left(\frac{7}{10}, \frac{8}{5}\right)}$.

b) $M = (4, 0)$, $\mathcal{D}: 3x - y = 2$

Étape 1 : Déterminer la droite $L$ perpendiculaire à $\mathcal{D}$ passant par $M$.

1. Le vecteur directeur de $L$ est le vecteur normal de $\mathcal{D}$ : $\vec{u}_L = \vec{n}_{\mathcal{D}} = (3, -1)$.
2. L’équation paramétrique de $L$ passant par $M(4, 0)$ est : $$L: \begin{cases} x(t) = 4 + 3t \\ y(t) = -t \end{cases}$$

Étape 2 : Trouver le point d’intersection $H$ (projection).

On substitue les coordonnées de $L$ dans l’équation cartésienne de $\mathcal{D}$ : $$3x - y = 2$$ $$3(4 + 3t) - (-t) = 2$$ $$12 + 9t + t = 2$$ $$10t + 12 = 2$$ $$10t = -10 \Rightarrow t = -1$$

Étape 3 : Calculer les coordonnées de $H$.

On utilise $t = -1$ dans l’équation de $L$ : $$x_H = 4 + 3(-1) = 4 - 3 = 1$$ $$y_H = -(-1) = 1$$

La projection orthogonale est $\mathbf{H = (1, 1)}$.

c) $M = (1, -2, 1)$, $\mathcal{D}: \{(t - 2, 1 - 2t, 2t + 1), t \in \mathbb{R}\}$

Dans l’espace $\mathbb{R}^3$, la projection orthogonale $H$ est le point sur $\mathcal{D}$ tel que le vecteur $\vec{MH}$ est orthogonal au vecteur directeur $\vec{u}_{\mathcal{D}}$ de la droite.

Étape 1 : Identifier le vecteur directeur de $\mathcal{D}$ et exprimer $\vec{MH}$.

L’équation paramétrique de $\mathcal{D}$ donne : * Point de la droite : $P = (-2, 1, 1)$ * Vecteur directeur : $\vec{u}_{\mathcal{D}} = (1, -2, 2)$

Un point générique $H$ sur $\mathcal{D}$ a pour coordonnées : $H = (t - 2, 1 - 2t, 2t + 1)$. Le vecteur $\vec{MH}$ est : $$\vec{MH} = H - M = ( (t-2) - 1, (1-2t) - (-2), (2t+1) - 1 )$$ $$\vec{MH} = (t - 3, 3 - 2t, 2t)$$

Étape 2 : Utiliser la condition d’orthogonalité.

$\vec{MH}$ doit être orthogonal à $\vec{u}_{\mathcal{D}}$. Leur produit scalaire doit être nul : $$\vec{MH} \cdot \vec{u}_{\mathcal{D}} = 0$$ $$(t - 3)(1) + (3 - 2t)(-2) + (2t)(2) = 0$$ $$t - 3 - 6 + 4t + 4t = 0$$ $$9t - 9 = 0$$ $$9t = 9 \Rightarrow t = 1$$

Étape 3 : Calculer les coordonnées de $H$.

On utilise $t = 1$ dans l’équation paramétrique de $\mathcal{D}$ : $$x_H = 1 - 2 = -1$$ $$y_H = 1 - 2(1) = -1$$ $$z_H = 2(1) + 1 = 3$$

La projection orthogonale est $\mathbf{H = (-1, -1, 3)}$.