Exercices 36 et 37 — Droites et Intersections

Exercice 36 — Trouver l’intersection des droites D1D_1 et D2D_2

a)

D1={(1+2s,3−s),s∈ℝ},D2={(x,y)|x−2y+1=0}D_1 = \{(1 + 2s,\, 3 - s),\, s \in \mathbb{R}\}, \quad D_2 = \{(x, y)\,|\, x - 2y + 1 = 0\}

Substitution : (1+2s)−2(3−s)+1=0⇒4s−4=0⇒s=1(1 + 2s) - 2(3 - s) + 1 = 0 \Rightarrow 4s - 4 = 0 \Rightarrow s = 1

x=1+2(1)=3,y=3−1=2x = 1 + 2(1) = 3, \quad y = 3 - 1 = 2

(3,2)\boxed{(3, 2)}

b)

D1={(s−1,s−2),s∈ℝ},D2={(3−t,2−t),t∈ℝ}D_1 = \{(s - 1,\, s - 2),\, s \in \mathbb{R}\}, \quad D_2 = \{(3 - t,\, 2 - t),\, t \in \mathbb{R}\}

Égalisons : s−1=3−t,s−2=2−ts - 1 = 3 - t, \quad s - 2 = 2 - t

Les deux équations donnent : s+t=4s + t = 4

Les droites sont confondues : D1=D2={(s−1,s−2)|s∈ℝ}\boxed{D_1 = D_2 = \{(s - 1, s - 2)\,|\, s \in \mathbb{R}\}}

c)

D1:2x+y+1=0,D2={(1+t,3−2t),t∈ℝ}D_1 : 2x + y + 1 = 0, \quad D_2 = \{(1 + t,\, 3 - 2t),\, t \in \mathbb{R}\}

Substitution : 2(1+t)+(3−2t)+1=0⇒6=02(1 + t) + (3 - 2t) + 1 = 0 \Rightarrow 6 = 0

Aucune solution : Pas d’intersection (droites parallèles distinctes)\boxed{\text{Pas d’intersection (droites parallèles distinctes)}}

d)

D1={(t−2,t−1),t∈ℝ},D2={(−1+2s,3−s),s∈ℝ}D_1 = \{(t - 2,\, t - 1),\, t \in \mathbb{R}\}, \quad D_2 = \{(-1 + 2s,\, 3 - s),\, s \in \mathbb{R}\}

Égalisons : t−2=−1+2s,t−1=3−st - 2 = -1 + 2s, \quad t - 1 = 3 - s

De la première : t=1+2st = 1 + 2s, de la seconde : t=4−st = 4 - s

1+2s=4−s⇒3s=3⇒s=1⇒t=31 + 2s = 4 - s \Rightarrow 3s = 3 \Rightarrow s = 1 \Rightarrow t = 3

x=t−2=1,y=t−1=2x = t - 2 = 1, \quad y = t - 1 = 2

(1,2)\boxed{(1, 2)}

Exercice 37 — Trouver une équation de la droite DD passant par les points AA et BB

a)

A=(2,3),B=(3,2)A = (2, 3), \quad B = (3, 2)

m=yB−yAxB−xA=2−33−2=−1m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{2 - 3}{3 - 2} = -1

y=−x+5y = -x + 5

y=−x+5oux+y−5=0\boxed{y = -x + 5} \quad \text{ou} \quad x + y - 5 = 0

b)

A=(4,1),B=(2,2)A = (4, 1), \quad B = (2, 2)

m=2−12−4=−12m = \frac{2 - 1}{2 - 4} = -\frac{1}{2}

y=−12x+3y = -\frac{1}{2}x + 3

y=−12x+3oux+2y−6=0\boxed{y = -\tfrac{1}{2}x + 3} \quad \text{ou} \quad x + 2y - 6 = 0

c)

A=(−2,1),B=(1,3)A = (-2, 1), \quad B = (1, 3)

m=3−11−(−2)=23m = \frac{3 - 1}{1 - (-2)} = \frac{2}{3}

y=23x+73y = \frac{2}{3}x + \frac{7}{3}

y=23x+73ou2x−3y+7=0\boxed{y = \tfrac{2}{3}x + \tfrac{7}{3}} \quad \text{ou} \quad 2x - 3y + 7 = 0

✅ Résultats finaux :

Exercice Cas Équation de la droite DD
36 a) Intersection en (3,2)(3, 2)
36 b) Droites confondues
36 c) Aucune intersection
36 d) Intersection en (1,2)(1, 2)
37 a) y=−x+5y = -x + 5
37 b) y=−12x+3y = -\tfrac{1}{2}x + 3
37 c) y=23x+73y = \tfrac{2}{3}x + \tfrac{7}{3}