Ces exercices demandent de trouver l’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$, dont la forme générale est $ax + by + cz + d = 0$. Les coefficients $(a, b, c)$ correspondent aux composantes du vecteur normal $\vec{n}$ au plan, obtenu par le produit vectoriel de deux vecteurs non colinéaires du plan.

La méthode utilisée est la suivante : 1. Définir deux vecteurs directeurs : $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$. 2. Calculer le vecteur normal : $\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}$. 3. Utiliser les composantes de $\vec{n}$ et les coordonnées d’un point (par exemple $A$) pour trouver la constante $d$.

Exercice 23 a) 🇫🇷

Points : $A = (1, 0, 1)$, $B = (1, 1, 0)$, $C = (1, 0, 0)$.

1. Vecteurs Directeurs

$$\vec{AB} = B - A = (1-1, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (1-1, 0-0, 0-1) = (0, 0, -1)$$

2. Vecteur Normal

$$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} = (-1, 0, 0)$$ Les coefficients sont $a=-1$, $b=0$, $c=0$.

3. Équation Cartésienne

L’équation est $-1x + 0y + 0z + d = 0$, soit $-x + d = 0$. En utilisant le point $A(1, 0, 1)$ pour trouver $d$: $$-1(1) + d = 0 \implies d = 1$$

L’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $$\mathcal{P}: -x + 1 = 0 \quad \text{ou} \quad \mathbf{x = 1}$$

Exercice 23 b) 🇫🇷

Points : $A = (2, 0, 1)$, $B = (1, 1, 1)$, $C = (-1, 0, -1)$.

1. Vecteurs Directeurs

$$\vec{AB} = B - A = (1-2, 1-0, 1-1) = (-1, 1, 0)$$ $$\vec{AC} = C - A = (-1-2, 0-0, -1-1) = (-3, 0, -2)$$

2. Vecteur Normal

$$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = (-2, -2, 3)$$ Les coefficients sont $a=-2$, $b=-2$, $c=3$.

3. Équation Cartésienne

L’équation est $-2x - 2y + 3z + d = 0$. En utilisant le point $A(2, 0, 1)$ pour trouver $d$: $$-2(2) - 2(0) + 3(1) + d = 0$$ $$-4 + 0 + 3 + d = 0$$ $$-1 + d = 0 \implies d = 1$$

L’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est : $$\mathcal{P}: \mathbf{-2x - 2y + 3z + 1 = 0}$$ (Une forme équivalente, en multipliant par $-1$, est : $\mathbf{2x + 2y - 3z - 1 = 0}$)