Résolution de l’Exercice 21

L’objectif est de trouver l’équation paramétrique de la droite $\mathcal{D}$ passant par le point $M$ et orthogonale au plan $\mathcal{P}$.

Rappel : Le vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $\mathcal{D}$ est égal au vecteur normal $\vec{n}$ du plan $\mathcal{P}$. L’équation paramétrique d’une droite passant par $M(x_0, y_0, z_0)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a, b, c)$ est : $$\mathcal{D} : \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}, t \in \mathbb{R}$$

a) $M = (1, 2, 4)$, $\mathcal{P} : x + y + z = 3$

1. Vecteur normal $\vec{n}$ du plan (coefficients de $x, y, z$): $$\vec{n} = (1, 1, 1)$$
2. Vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $\mathcal{D}$: $$\vec{u} = \vec{n} = (1, 1, 1)$$
3. Équation paramétrique de $\mathcal{D}$ passant par $M(1, 2, 4)$: $$\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 4 + t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$$

b) $M = (-1, 0, 0)$, $\mathcal{P} : x + 2y + 3z = 7$

1. Vecteur normal $\vec{n}$ du plan : $$\vec{n} = (1, 2, 3)$$
2. Vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $\mathcal{D}$: $$\vec{u} = \vec{n} = (1, 2, 3)$$
3. Équation paramétrique de $\mathcal{D}$ passant par $M(-1, 0, 0)$: $$\mathcal{D} : \begin{cases} x = -1 + t \\ y = 0 + 2t = 2t \\ z = 0 + 3t = 3t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$$

c) $M = (1, 2, 4)$, $\mathcal{P} = \{(2, 1, 0) + \alpha(1, 0, 3) + \beta(0, 1, 0), \alpha, \beta \in \mathbb{R}\}$

1. Vecteurs directeurs du plan : $\vec{u}_1 = (1, 0, 3)$ et $\vec{u}_2 = (0, 1, 0)$.
2. Vecteur normal $\vec{n}$ du plan (produit vectoriel $\vec{u}_1 \times \vec{u}_2$): $$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \cdot 0 - 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 0 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 1 - 0 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
3. Vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $\mathcal{D}$: $$\vec{u} = \vec{n} = (-3, 0, 1)$$
4. Équation paramétrique de $\mathcal{D}$ passant par $M(1, 2, 4)$: $$\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 - 3t \\ y = 2 + 0t = 2 \\ z = 4 + t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$$

d) $M = (1, -2, 1)$, $\mathcal{P} = \{\alpha(1, -1, 1) + \beta(0, 1, 1), \alpha, \beta \in \mathbb{R}\}$

1. Vecteurs directeurs du plan : $\vec{u}_1 = (1, -1, 1)$ et $\vec{u}_2 = (0, 1, 1)$.
2. Vecteur normal $\vec{n}$ du plan (produit vectoriel $\vec{u}_1 \times \vec{u}_2$): $$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 1 - (-1) \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
3. Vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite $\mathcal{D}$: $$\vec{u} = \vec{n} = (-2, -1, 1)$$
4. Équation paramétrique de $\mathcal{D}$ passant par $M(1, -2, 1)$: $$\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 - 2t \\ y = -2 - t \\ z = 1 + t \end{cases}, t \in \mathbb{R}$$

Résolution de l’Exercice 22

L’objectif est de trouver une équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ défini par un point $M$ et deux vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$.

Rappel : 1. Le vecteur normal $\vec{n}$ du plan est obtenu par le produit vectoriel des deux vecteurs directeurs : $\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}$. Si $\vec{n}=(a, b, c)$, l’équation est de la forme $ax + by + cz = d$. 2. Le terme $d$ est trouvé en substituant les coordonnées du point $M$ dans l’équation.

a) $M = (1, 0, 1)$, $\vec{u} = (1, 1, 0)$, $\vec{v} = (1, 0, 0)$

1. Vecteur normal $\vec{n}$ : $\vec{u} \times \vec{v}$ $$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 - 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 - 1 \cdot 0 \\ 1 \cdot 0 - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$ Nous pouvons prendre $\vec{n} = (0, 0, -1)$.
2. Équation cartésienne temporaire ($ax + by + cz = d$): $$0x + 0y - 1z = d \implies -z = d$$
3. Trouver $d$ en utilisant $M(1, 0, 1)$: $$-(1) = d \implies d = -1$$
4. Équation cartésienne finale : $$-z = -1 \implies z = 1$$

L’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $\mathbf{z = 1}$.

b) $M = (1, 0, 0)$, $\vec{u} = (1, 2, 3)$, $\vec{v} = (1, 0, 1)$

1. Vecteur normal $\vec{n}$ : $\vec{u} \times \vec{v}$ $$\vec{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 - 3 \cdot 0 \\ 3 \cdot 1 - 1 \cdot 1 \\ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$$ Nous pouvons simplifier le vecteur normal en divisant par 2 : $\vec{n} = (1, 1, -1)$.
2. Équation cartésienne temporaire ($ax + by + cz = d$): $$1x + 1y - 1z = d \implies x + y - z = d$$
3. Trouver $d$ en utilisant $M(1, 0, 0)$: $$(1) + (0) - (0) = d \implies d = 1$$
4. Équation cartésienne finale : $$x + y - z = 1$$

L’équation cartésienne du plan $\mathcal{P}$ est $\mathbf{x + y - z = 1}$.