L’aire d’un triangle déterminé par trois droites est donnée par l’aire du triangle formé par les points d’intersection de ces droites.

📐 Étape 1 : Déterminer les sommets du triangle

Nous cherchons les points d’intersection $A$, $B$, et $C$ des droites : * $D_1: x + y = 0$ * $D_2: 2x - y = 2$ * $D_3: 4x + y = -2$

Sommet A : Intersection de $D_1$ et $D_2$

Nous résolvons le système : 1. $x + y = 0 \Rightarrow y = -x$ 2. $2x - y = 2$

En substituant (1) dans (2) : $$2x - (-x) = 2$$ $$3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$$ Puis $y = -x = -\frac{2}{3}$.

Le premier sommet est $A = \left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right)$.

Sommet B : Intersection de $D_1$ et $D_3$

Nous résolvons le système : 1. $x + y = 0 \Rightarrow y = -x$ 2. $4x + y = -2$

En substituant (1) dans (2) : $$4x + (-x) = -2$$ $$3x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{3}$$ Puis $y = -x = -(-\frac{2}{3}) = \frac{2}{3}$.

Le deuxième sommet est $B = \left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$.

Sommet C : Intersection de $D_2$ et $D_3$

Nous résolvons le système : 1. $2x - y = 2$ 2. $4x + y = -2$

En additionnant (1) et (2) pour éliminer $y$ : $$(2x - y) + (4x + y) = 2 + (-2)$$ $$6x = 0 \Rightarrow x = 0$$ Puis, en substituant $x=0$ dans (1) : $$2(0) - y = 2 \Rightarrow -y = 2 \Rightarrow y = -2$$

Le troisième sommet est $C = (0, -2)$.

🛠️ Étape 2 : Calculer l’aire du triangle $\text{ABC}$

Nous utilisons la formule de l’aire du triangle à partir des coordonnées de ses sommets $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$ et $C(x_C, y_C)$, en utilisant les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ :

$$\text{Aire} = \frac{1}{2} |\det(\vec{AB}, \vec{AC})| = \frac{1}{2} |(x_B - x_A)(y_C - y_A) - (x_C - x_A)(y_B - y_A)|$$

1. Calcul des vecteurs

$$A = \left(\frac{2}{3}, -\frac{2}{3}\right), \quad B = \left(-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right), \quad C = (0, -2)$$

Vecteur $\vec{AB}$ : $$x_{AB} = x_B - x_A = -\frac{2}{3} - \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$$ $$y_{AB} = y_B - y_A = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{4}{3}$$ $$\vec{AB} = \left(-\frac{4}{3}, \frac{4}{3}\right)$$

Vecteur $\vec{AC}$ : $$x_{AC} = x_C - x_A = 0 - \frac{2}{3} = -\frac{2}{3}$$ $$y_{AC} = y_C - y_A = -2 - \left(-\frac{2}{3}\right) = -2 + \frac{2}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{2}{3} = -\frac{4}{3}$$ $$\vec{AC} = \left(-\frac{2}{3}, -\frac{4}{3}\right)$$

2. Calcul du déterminant

$$\det(\vec{AB}, \vec{AC}) = x_{AB} y_{AC} - x_{AC} y_{AB}$$ $$\det = \left(-\frac{4}{3}\right) \left(-\frac{4}{3}\right) - \left(-\frac{2}{3}\right) \left(\frac{4}{3}\right)$$ $$\det = \frac{16}{9} - \left(-\frac{8}{9}\right)$$ $$\det = \frac{16}{9} + \frac{8}{9} = \frac{24}{9}$$

En simplifiant la fraction : $\frac{24}{9} = \frac{8}{3}$.

3. Calcul de l’aire

$$\text{Aire} = \frac{1}{2} |\det(\vec{AB}, \vec{AC})|$$ $$\text{Aire} = \frac{1}{2} \times \frac{8}{3} = \frac{4}{3}$$

✅ Conclusion

L’aire du triangle déterminé par les droites $D_1$, $D_2$ et $D_3$ est de $\mathbf{\frac{4}{3}}$ unités carrées.