L’Exercice 19 demande de trouver la projection orthogonale PP d’un point MM sur une droite 𝒟\mathcal{D}. La méthode générale consiste à utiliser la condition d’orthogonalité : le vecteur MP⃗\vec{MP} doit être orthogonal au vecteur directeur u⃗\vec{u} de la droite 𝒟\mathcal{D} (ou parallèle au vecteur normal n⃗\vec{n} si la droite est donnée sous forme cartésienne).

a) M=(1,2)M = (1, 2), 𝒟={(2t,1+t),t∈ℝ}\mathcal{D} = \{(2t, 1 + t), t \in \mathbb{R}\}

  1. Vecteur directeur de 𝒟\mathcal{D}: u⃗=(2,1)\vec{u} = (2, 1).
  2. Point de projection sur 𝒟\mathcal{D}: P=(2t,1+t)P = (2t, 1 + t).
  3. Vecteur MP⃗\vec{MP}: MP⃗=P−M=(2t−1,(1+t)−2)=(2t−1,t−1)\vec{MP} = P - M = (2t - 1, (1 + t) - 2) = (2t - 1, t - 1).
  4. Condition d’orthogonalité (MP⃗⋅u⃗=0\vec{MP} \cdot \vec{u} = 0): (2t−1)(2)+(t−1)(1)=0(2t - 1)(2) + (t - 1)(1) = 0 4t−2+t−1=04t - 2 + t - 1 = 0 5t−3=0⟹t=355t - 3 = 0 \implies t = \frac{3}{5}
  5. Coordonnées de PP: P=(2⋅35,1+35)=(65,85)P = \left(2 \cdot \frac{3}{5}, 1 + \frac{3}{5}\right) = \left(\frac{6}{5}, \frac{8}{5}\right)

La projection orthogonale est 𝐏=(65,85)\mathbf{P = \left(\frac{6}{5}, \frac{8}{5}\right)}.

b) M=(1,3)M = (1, 3), 𝒟={(4−t,2+2t),t∈ℝ}\mathcal{D} = \{(4 - t, 2 + 2t), t \in \mathbb{R}\}

  1. Vecteur directeur de 𝒟\mathcal{D}: u⃗=(−1,2)\vec{u} = (-1, 2).
  2. Point de projection sur 𝒟\mathcal{D}: P=(4−t,2+2t)P = (4 - t, 2 + 2t).
  3. Vecteur MP⃗\vec{MP}: MP⃗=P−M=((4−t)−1,(2+2t)−3)=(3−t,2t−1)\vec{MP} = P - M = ((4 - t) - 1, (2 + 2t) - 3) = (3 - t, 2t - 1).
  4. Condition d’orthogonalité (MP⃗⋅u⃗=0\vec{MP} \cdot \vec{u} = 0): (3−t)(−1)+(2t−1)(2)=0(3 - t)(-1) + (2t - 1)(2) = 0 −3+t+4t−2=0-3 + t + 4t - 2 = 0 5t−5=0⟹t=15t - 5 = 0 \implies t = 1
  5. Coordonnées de PP: P=(4−1,2+2(1))=(3,4)P = (4 - 1, 2 + 2(1)) = (3, 4)

La projection orthogonale est 𝐏=(3,4)\mathbf{P = (3, 4)}.

c) M=(1,−3)M = (1, -3), 𝒟={(x,y)∈ℝ2,x+2y+3=0}\mathcal{D} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2, x + 2y + 3 = 0\}

  1. Vecteur normal à 𝒟\mathcal{D}: n⃗=(1,2)\vec{n} = (1, 2).
  2. Point de projection P=(x,y)P = (x, y) est tel que le vecteur MP⃗=(x−1,y+3)\vec{MP} = (x - 1, y + 3) est parallèle au vecteur normal n⃗\vec{n}. MP⃗=kn⃗⟹{x−1=k⋅1⟹x=k+1y+3=k⋅2⟹y=2k−3\vec{MP} = k \vec{n} \implies \begin{cases} x - 1 = k \cdot 1 \implies x = k + 1 \\ y + 3 = k \cdot 2 \implies y = 2k - 3 \end{cases}
  3. Substitution dans l’équation de 𝒟\mathcal{D}: (k+1)+2(2k−3)+3=0(k + 1) + 2(2k - 3) + 3 = 0 k+1+4k−6+3=0k + 1 + 4k - 6 + 3 = 0 5k−2=0⟹k=255k - 2 = 0 \implies k = \frac{2}{5}
  4. Coordonnées de PP: x=25+1=75x = \frac{2}{5} + 1 = \frac{7}{5} y=2(25)−3=45−155=−115y = 2\left(\frac{2}{5}\right) - 3 = \frac{4}{5} - \frac{15}{5} = -\frac{11}{5}

La projection orthogonale est 𝐏=(75,−115)\mathbf{P = \left(\frac{7}{5}, -\frac{11}{5}\right)}.

d) M=(1,5)M = (1, 5), 𝒟={(x,y)∈ℝ2,x−y=2}\mathcal{D} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2, x - y = 2\}

  1. Vecteur normal à 𝒟\mathcal{D}: n⃗=(1,−1)\vec{n} = (1, -1).
  2. Vecteur MP⃗\vec{MP} est parallèle à n⃗\vec{n}: MP⃗=kn⃗⟹{x−1=k⋅1⟹x=k+1y−5=k⋅(−1)⟹y=−k+5\vec{MP} = k \vec{n} \implies \begin{cases} x - 1 = k \cdot 1 \implies x = k + 1 \\ y - 5 = k \cdot (-1) \implies y = -k + 5 \end{cases}
  3. Substitution dans l’équation de 𝒟\mathcal{D} (x−y=2x - y = 2): (k+1)−(−k+5)=2(k + 1) - (-k + 5) = 2 k+1+k−5=2k + 1 + k - 5 = 2 2k−4=22k - 4 = 2 2k=6⟹k=32k = 6 \implies k = 3
  4. Coordonnées de PP: x=3+1=4x = 3 + 1 = 4 y=−3+5=2y = -3 + 5 = 2

La projection orthogonale est 𝐏=(4,2)\mathbf{P = (4, 2)}.

e) M=(−1,1)M = (-1, 1), 𝒟={(x,y)∈ℝ2,−2x+y=3}\mathcal{D} = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2, -2x + y = 3\}

  1. Vecteur normal à 𝒟\mathcal{D}: n⃗=(−2,1)\vec{n} = (-2, 1).
  2. Vecteur MP⃗\vec{MP} est parallèle à n⃗\vec{n}: MP⃗=kn⃗⟹{x−(−1)=k⋅(−2)⟹x=−2k−1y−1=k⋅1⟹y=k+1\vec{MP} = k \vec{n} \implies \begin{cases} x - (-1) = k \cdot (-2) \implies x = -2k - 1 \\ y - 1 = k \cdot 1 \implies y = k + 1 \end{cases}
  3. Substitution dans l’équation de 𝒟\mathcal{D} (−2x+y=3-2x + y = 3): −2(−2k−1)+(k+1)=3-2(-2k - 1) + (k + 1) = 3 4k+2+k+1=34k + 2 + k + 1 = 3 5k+3=35k + 3 = 3 5k=0⟹k=05k = 0 \implies k = 0
  4. Coordonnées de PP: x=−2(0)−1=−1x = -2(0) - 1 = -1 y=0+1=1y = 0 + 1 = 1

La projection orthogonale est 𝐏=(−1,1)\mathbf{P = (-1, 1)}. (Le point MM est déjà sur la droite 𝒟\mathcal{D}.)

f) M=(1,0,1)M = (1, 0, 1), 𝒟={(2t,t−1,−t+4),t∈ℝ}\mathcal{D} = \{(2t, t - 1, -t + 4), t \in \mathbb{R}\} (dans ℝ3\mathbb{R}^3)

  1. Vecteur directeur de 𝒟\mathcal{D}: u⃗=(2,1,−1)\vec{u} = (2, 1, -1).
  2. Point de projection sur 𝒟\mathcal{D}: P=(2t,t−1,−t+4)P = (2t, t - 1, -t + 4).
  3. Vecteur MP⃗\vec{MP}: MP⃗=(2t−1,(t−1)−0,(−t+4)−1)=(2t−1,t−1,−t+3)\vec{MP} = (2t - 1, (t - 1) - 0, (-t + 4) - 1) = (2t - 1, t - 1, -t + 3)
  4. Condition d’orthogonalité (MP⃗⋅u⃗=0\vec{MP} \cdot \vec{u} = 0): (2t−1)(2)+(t−1)(1)+(−t+3)(−1)=0(2t - 1)(2) + (t - 1)(1) + (-t + 3)(-1) = 0 4t−2+t−1+t−3=04t - 2 + t - 1 + t - 3 = 0 6t−6=0⟹t=16t - 6 = 0 \implies t = 1
  5. Coordonnées de PP: P=(2(1),1−1,−1+4)=(2,0,3)P = (2(1), 1 - 1, -1 + 4) = (2, 0, 3)

La projection orthogonale est 𝐏=(2,0,3)\mathbf{P = (2, 0, 3)}.