🇫🇷 Solution de l’Exercice 17 : Équation de la droite $\mathcal{D}$ passant par $A$ et $B$

L’équation d’une droite dans le plan $\mathbb{R}^2$ peut être trouvée en utilisant le vecteur directeur $\vec{AB}$ et en déterminant la pente $m$ (si la droite n’est pas verticale) ou en utilisant la relation vectorielle $\vec{AM} \cdot \vec{n} = 0$, où $\vec{n}$ est un vecteur normal. Nous allons utiliser la forme $y = mx + p$ ou la forme générale $ax + by + c = 0$.

a) $A=(1, 2)$, $B=(3, 1)$

1. Calculer la pente $m$ : $$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{1 - 2}{3 - 1} = \frac{-1}{2}$$

2. Trouver l’ordonnée à l’origine $p$ en utilisant le point $A(1, 2)$ dans $y = mx + p$: $$2 = -\frac{1}{2}(1) + p \implies 2 = -\frac{1}{2} + p \implies p = 2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$$

3. Équation de la droite : $$y = -\frac{1}{2}x + \frac{5}{2}$$

   Forme générale : Multiplier par 2 pour éliminer les fractions : $$2y = -x + 5 \implies \mathbf{x + 2y - 5 = 0}$$

b) $A=(3, 0)$, $B=(2, -1)$

1. Calculer la pente $m$ : $$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-1 - 0}{2 - 3} = \frac{-1}{-1} = 1$$

2. Trouver l’ordonnée à l’origine $p$ en utilisant le point $A(3, 0)$ dans $y = mx + p$: $$0 = 1(3) + p \implies p = -3$$

3. Équation de la droite : $$y = 1x - 3$$ Forme générale : $$\mathbf{x - y - 3 = 0}$$

c) $A=(1, 0)$, $B=(2, 3)$

1. Calculer la pente $m$ : $$m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - 0}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$$

2. Trouver l’ordonnée à l’origine $p$ en utilisant le point $A(1, 0)$ dans $y = mx + p$: $$0 = 3(1) + p \implies p = -3$$

3. Équation de la droite : $$y = 3x - 3$$ Forme générale : $$\mathbf{3x - y - 3 = 0}$$

🇫🇷 Solution de l’Exercice 18 : Point d’intersection $M$

Nous devons d’abord trouver les équations cartésiennes des droites $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$, puis résoudre le système formé par ces deux équations.

Données : $A=(0, 1)$, $B=(4, 3)$, $E=(1, 3)$, $F=(3, 1)$.

1. Équation de la droite $\mathcal{D}_1$ (passant par $A$ et $B$)

1. Pente $m_1$ : $$m_1 = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{3 - 1}{4 - 0} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

2. Ordonnée à l’origine $p_1$ : Le point $A(0, 1)$ est l’ordonnée à l’origine, donc $p_1 = 1$.

3. Équation de $\mathcal{D}_1$ : $$y = \frac{1}{2}x + 1$$ Forme générale : $\mathbf{x - 2y + 2 = 0}$

2. Équation de la droite $\mathcal{D}_2$ (passant par $E$ et $F$)

1. Pente $m_2$ : $$m_2 = \frac{y_F - y_E}{x_F - x_E} = \frac{1 - 3}{3 - 1} = \frac{-2}{2} = -1$$

2. Trouver l’ordonnée à l’origine $p_2$ en utilisant le point $E(1, 3)$ dans $y = m_2 x + p_2$: $$3 = -1(1) + p_2 \implies 3 = -1 + p_2 \implies p_2 = 4$$

3. Équation de $\mathcal{D}_2$ : $$y = -x + 4$$ Forme générale : $\mathbf{x + y - 4 = 0}$

3. Trouver le point d’intersection $M$

Nous résolvons le système d’équations formé par $\mathcal{D}_1$ et $\mathcal{D}_2$: $$\begin{cases} x - 2y + 2 = 0 & (1) \\ x + y - 4 = 0 & (2) \end{cases}$$ De l’équation (2), on a $x = 4 - y$. Substituons cette expression dans l’équation (1) : $$(4 - y) - 2y + 2 = 0$$ $$6 - 3y = 0$$ $$3y = 6 \implies \mathbf{y = 2}$$

Substituons $y=2$ dans $x = 4 - y$ : $$x = 4 - 2 \implies \mathbf{x = 2}$$

Le point d’intersection $M$ est $\mathbf{(2, 2)}$.