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Exercice 14 : Sommes de suites géométriques

Voici le tableau contenant la décomposition et le calcul des sommes pour chaque série géométrique de l’exercice 14.

Pour une série géométrique de la forme $\sum_{k=a}^{b} u_k = u_0 q^k$ , la somme se calcule à l’aide de la formule usuelle :

$\text{Somme} = (\text{Premier terme}) \times \frac{1 - q^{\text{Nombre de termes}}}{1 - q} = (\text{Premier terme}) \times \frac{q^{\text{Nombre de termes}} - 1}{q - 1}$

Série	$u_{\text{début}}$	$q$	Nbre de termes	Somme
$\sum_{k=0}^{n} 3^k$	$1$	$3$	$n+1$	$\frac{3^{n+1}-1}{2}$
$\sum_{p=0}^{n+2} 7^p$	$1$	$7$	$n+3$	$\frac{7^{n+3}-1}{6}$
$\sum_{k=1}^{n} 2^k$	$2$	$2$	$n$	$2(2^n-1) = 2^{n+1}-2$
$\sum_{j=2}^{n} 5^j$	$25$	$5$	$n-1$	$\frac{25(5^{n-1}-1)}{4}$
$\sum_{k=0}^{n} (-2)^k$	$1$	$-2$	$n+1$	$\frac{1 - (-2)^{n+1}}{3}$
$\sum_{k=0}^{n} 2^{3k+2}$	$4$	$8$	$n+1$	$\frac{4(8^{n+1}-1)}{7}$
$\sum_{k=1}^{n+1} 7^{2k+1}$	$343$	$49$	$n+1$	$\frac{343(49^{n+1}-1)}{48}$
$\sum_{k=0}^{n+2} \frac{1}{2^k}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$n+3$	$2\left(1 - \frac{1}{2^{n+3}}\right)$
$\sum_{l=0}^{n} \frac{2^{l+1}}{3^{l+2}}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{2}{3}$	$n+1$	$\frac{2}{3}\left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^{n+1}\right)$
$\sum_{k=0}^{2n-1} 3^{k/2}$	$1$	$\sqrt{3}$	$2n$	$\frac{3^n-1}{\sqrt{3}-1} = \frac{(\sqrt{3}+1)(3^n-1)}{2}$
$\sum_{k=1}^{p+1} 3^k 5^{2-k}$	$15$	$\frac{3}{5}$	$p+1$	$\frac{75}{2}\left(1 - \left(\frac{3}{5}\right)^{p+1}\right)$
$\sum_{k=0}^{n-1} e^{\frac{2i\pi k}{n}}$	$1$	$e^{\frac{2i\pi}{n}}$	$n$	$0$ (pour $n \ge 2$ , car $q^n = 1$ )