Correction

Pour exprimer $\sin$ et $\cos$ de l’angle $\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{5}$ en fonction de $\sin \frac{\pi}{5}$ et $\cos \frac{\pi}{5}$, nous allons utiliser les formules de somme d’angles.

1. Formule pour le sinus d’une somme d’angles :

$$\sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b$$

En appliquant cette formule pour $a = \frac{3\pi}{2}$ et $b = \frac{\pi}{5}$, nous obtenons :

$$\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{5}\right) = \sin\frac{3\pi}{2} \cos\frac{\pi}{5} + \cos\frac{3\pi}{2} \sin\frac{\pi}{5}$$

Nous connaissons les valeurs des fonctions trigonométriques pour $\frac{3\pi}{2}$ : $$\sin \frac{3\pi}{2} = -1 \quad \text{et} \quad \cos \frac{3\pi}{2} = 0$$

Substituons ces valeurs dans l’expression :

$$\begin{align*} &\sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{5}\right) = (-1) \cdot \cos \frac{\pi}{5} + 0 \cdot \sin \frac{\pi}{5} \\ &= -\cos \frac{\pi}{5} \end{align*}$$

2. Formule pour le cosinus d’une somme d’angles :

$$\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$$

En appliquant cette formule pour $a = \frac{3\pi}{2}$ et $b = \frac{\pi}{5}$, nous obtenons :

$$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{5}\right) = \cos\frac{3\pi}{2} \cos\frac{\pi}{5} - \sin\frac{3\pi}{2} \sin\frac{\pi}{5}$$

En utilisant à nouveau les valeurs $\cos \frac{3\pi}{2} = 0$ et $\sin \frac{3\pi}{2} = -1$, nous obtenons :

$$\begin{align*} & \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{5}\right) = 0 \cdot \cos \frac{\pi}{5} - (-1) \cdot \sin \frac{\pi}{5} \\ & = \sin \frac{\pi}{5} \end{align*}$$

Conclusion :

Les expressions en fonction de $\sin \frac{\pi}{5}$ et $\cos \frac{\pi}{5}$ sont :

$$\begin{align*} \sin\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{5}\right) &=& -\cos \frac{\pi}{5} \\ \cos\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{5}\right) &=& \sin \frac{\pi}{5} \end{align*}$$