Correction

L’équation donnée est :

$$x^2 + y^2 - 4 - 4x + 2y = 0$$

On va la réécrire sous une forme plus familière en complétant les carrés pour obtenir l’équation d’un cercle.

1. Réarrangeons les termes :

$$x^2 - 4x + y^2 + 2y = 4$$

2. Complétons les carrés :
   • Pour $x^2 - 4x$, on ajoute et on soustrait $4$ (puisque $\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$) :
     $$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$$
   • Pour $y^2 + 2y$, on ajoute et on soustrait $1$ (puisque $\left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1$) :
     $$y^2 + 2y = (y + 1)^2 - 1$$
3. Remplaçons dans l’équation :

$$(x - 2)^2 - 4 + (y + 1)^2 - 1 = 4$$

4. Simplifions :

$$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 - 5 = 4$$ $$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9$$

5. Conclusion :

L’équation obtenue est celle d’un cercle de centre $(2, -1)$ et de rayon $3$ (car $\sqrt{9} = 3$).

L’ensemble des points $(x, y)$ qui vérifient l’équation initiale est donc le cercle de centre $(2, -1)$ et de rayon $3$.