Correction

Pour résoudre l’équation $P(x) = 0$ où $P(x) = 3x^2 - 4x + 1$ dans $\mathbb{R}$, nous allons calculer le discriminant $\Delta$ et ensuite factoriser $P(x)$, si possible.

Discriminant

L’équation quadratique générale est de la forme $ax^2 + bx + c = 0$, avec $a = 3$, $b = -4$, et $c = 1$.

Le discriminant $\Delta$ est donné par la formule : $$\Delta = b^2 - 4ac$$

Calculons $\Delta$ : $$\Delta = (-4)^2 - 4(3)(1) = 16 - 12 = 4$$

Analyse du discriminant

Le discriminant $\Delta = 4$ est positif et parfait, ce qui signifie que l’équation a deux racines réelles distinctes et rationnelles.

Calcul des racines

Les racines d’une équation quadratique sont données par la formule : $$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Substituons les valeurs de $b$, $a$, et $\Delta$ : $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{4}}{2(3)} = \frac{4 \pm 2}{6}$$

Cela donne deux solutions : $$x_1 = \frac{4 + 2}{6} = \frac{6}{6} = 1$$ $$x_2 = \frac{4 - 2}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Factorisation de $P(x)$

Comme les racines sont $x_1 = 1$ et $x_2 = \frac{1}{3}$, le polynôme peut être factorisé de la manière suivante : $$P(x) = 3(x - 1)\left(x - \frac{1}{3}\right)$$

Pour simplifier davantage la factorisation : $$P(x) = (x - 1)\left(3x - 1\right)$$

ChatGPT got this wrong: $$P(x) = 3(x - 1)\left(3x - 1\right)$$

Conclusion

L’équation $3x^2 - 4x + 1 = 0$ a deux solutions réelles distinctes : $x_1 = 1$ et $x_2 = \frac{1}{3}$.

La factorisation de $P(x)$ est : $$P(x) = (x - 1)(3x - 1)$$