Correction

L’équation quadratique donnée est :

$$2z^2 + (5 + i)z + (2 + 2i) = 0$$

Forme générale

C’est une équation de la forme :

$$az^2 + bz + c = 0$$

où :

• $a = 2$,
• $b = 5 + i$,
• $c = 2 + 2i$.

Le discriminant $\Delta$ pour une équation quadratique est donné par la formule :

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Substituons les valeurs de $a$, $b$, et $c$ dans cette formule.

Étape 1 : Calcul de $b^2$

Le coefficient $b = 5 + i$, donc calculons $b^2$ :

$$b^2 = (5 + i)^2 = 5^2 + 2(5)(i) + i^2 = 25 + 10i + (-1) = 24 + 10i$$

Étape 2 : Calcul de $4ac$

$a = 2$ et $c = 2 + 2i$, donc calculons $4ac$ :

$$4ac = 4 \cdot 2 \cdot (2 + 2i) = 8 \cdot (2 + 2i) = 16 + 16i$$

Étape 3 : Calcul du discriminant

Maintenant, nous pouvons calculer $\Delta$ :

$$\Delta = (24 + 10i) - (16 + 16i) = 8 - 6i$$

Racine carré de $8 - 6i$

En utilisant la méthode usuelle on peut calculer $\surd \Delta$

$$(3+i)^2 = (9-1) - 2\cdot3i = 8 - 6i = \Delta.$$

Racines de l’équation

Pour résoudre une équation quadratique de la forme $aZ^2 + bZ + c = 0$, où $a$, $b$, et $c$ sont des nombres complexes ou réels, on utilise la formule quadratique.

La formule pour les solutions de l’équation est :

$$Z = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

où $\Delta$ est le discriminant

Notre équation

Pour l’équation quadratique : $$2Z^2 + (5 + i)Z + (2 + 2i) = 0$$

1. Calculer le discriminant $\Delta$ : $$\Delta = b^2 - 4ac = 8 - 6i$$

2. Utiliser la formule quadratique pour trouver les solutions :

Les racines sont données par : $$Z = \frac{-(5 + i) + \sqrt{8 - 6i}}{4}$$

Ainsi, les solutions sont données en fonction de $\sqrt{\Delta}$. Si nous remplaçons la racine carrée du discriminant par $3 - i$ dans l’équation quadratique les solutions sont données par :

$$Z_1 = \frac{-(5 + i) + (3-i)}{4}, \quad Z_2 = \frac{-(5 + i) -(3-i)}{4}$$

3. Calcul des deux solutions

a. Première solution $(+)$ :

$$Z_1 = \frac{-(5 + i) + (3 - i)}{4} = \frac{(-5 - i) + (3 - i)}{4} = \frac{-2 - 2i}{4} = \frac{-2}{4} + \frac{-2i}{4} = -\frac{1}{2} - \frac{i}{2}$$

b. Deuxième solution $(-)$ :

$$Z_2 = \frac{-(5 + i) - (3 - i)}{4} = \frac{(-5 - i) - (3 - i)}{4} = \frac{-8}{4} = -2$$

Solutions finales :

Les solutions de l’équation sont donc :

$$Z_1 = -\frac{1}{2} - \frac{i}{2}, \quad Z_2 = -2$$