Correction

Solution

L’équation donnée est $Z^2 = 9 + 40i$ Supposons que $Z = x + iy$ (forme algébrique), où $x$ et $y$ sont réels.

• Étape 1 : Développement de $Z^2$.

Nous avons : $$Z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$$ Cela doit être égal à $1 + i$. En identifiant la partie réelle et la partie imaginaire, on obtient deux équations :

1. Partie réelle : $$x^2 - y^2 = 9$$
2. Partie imaginaire : $$2xy = 40$$
3. Module $$x^2 + y^2 = 41$$

• Étape 2 : Résolution du système.

De (1),(3), on trouve : $$2x^2 = 50 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x = \pm 5$$ $$2y^2 = 32 \Rightarrow y^2 = 16 \Rightarrow y = \pm 4$$ On a que $xy>0$ donc $x$ et $y$ ont le même signe. Les solutions sont donc : $$Z = x + iy = \pm (5 + 4i)$$