Solutions — Exercice 13, a) et f)

a) (|z-3|=|z-1+i|)

Interprétation géométrique : les points (M(x,y)) tels que la distance à (A(3,0)) est égale à la distance à (B(1,-1)). La locus est la médiatrice du segment (AB).

Soit (z=x+iy). Égalité des distances au carré : (x−3)2+y2=(x−1)2+(y+1)2. (x-3)^2+y^2=(x-1)^2+(y+1)^2. Développons et simplifions : x2−6x+9+y2=x2−2x+1+y2+2y+1 x^2-6x+9+y^2=x^2-2x+1+y^2+2y+1 −6x+9=−2x+2+2y -6x+9=-2x+2+2y −4x+7=2y -4x+7=2y y=−2x+72. y=-2x+\tfrac{7}{2}.

Réponse (a)

La locus est la droite d’équation y=−2x+72, \boxed{y=-2x+\tfrac{7}{2}}, c’est la médiatrice de ([AB]) (passe par le milieu (M(2,-)) et a pente (-2)).

f) (-(z)) et (2|z|<3)

Interprétation géométrique : en coordonnées polaires (z=r e^{i}), la condition s’écrit 2≤r<3,−π3≤θ≤π2. 2\le r<3,\qquad -\tfrac{\pi}{3}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.

Description de l’ensemble

C’est un secteur annulaire (une portion d’anneau) centré en l’origine : - les rayons angulaires sont (=-) et (=) (ces deux rayons sont inclus puisque les inégalités sur () sont non strictes), - la cercle intérieur de rayon (2) est inclus ((r=2)), - la cercle extérieur de rayon (3) est exclu ((r<3)).

Autrement dit, {z∈ℂ:2≤|z|<3,−π3≤arg(z)≤π2}, \boxed{\{\,z\in\mathbb C:\ 2\le|z|<3,\ -\tfrac{\pi}{3}\le\arg(z)\le\tfrac{\pi}{2}\,\}}, une portion d’anneau délimitée par deux rayons et deux arcs (l’arc intérieur inclus, l’arc extérieur exclu).