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Solutions — Exercice 13, a) et f)

a) $|z-3|=|z-1+i|$

Interprétation géométrique : les points $M(x,y)$ tels que la distance à $A(3,0)$ est égale à la distance à $B(1,-1)$. La locus est la médiatrice du segment $AB$.

Soit $z=x+iy$. Égalité des distances au carré : $$(x-3)^2+y^2=(x-1)^2+(y+1)^2.$$ Développons et simplifions : $$x^2-6x+9+y^2=x^2-2x+1+y^2+2y+1$$ $$-6x+9=-2x+2+2y$$ $$-4x+7=2y$$ $$y=-2x+\tfrac{7}{2}.$$

Réponse (a)

La locus est la droite d’équation $$\boxed{y=-2x+\tfrac{7}{2}},$$ c’est la médiatrice de $[AB]$ (passe par le milieu $M(2,-\tfrac12)$ et a pente $-2$).

f)

$$-\dfrac{\pi}{3}\le\arg(z)\le\dfrac{\pi}{2} \text{et} 2\le|z|<3$$

Interprétation géométrique : en coordonnées polaires $z=r e^{i\theta}$, la condition s’écrit $$2\le r<3,\qquad -\tfrac{\pi}{3}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}.$$

Description de l’ensemble

C’est un secteur annulaire (une portion d’anneau) centré en l’origine : - les rayons angulaires sont $\theta=-\tfrac{\pi}{3}$ et $\theta=\tfrac{\pi}{2}$ (ces deux rayons sont inclus puisque les inégalités sur $\arg$ sont non strictes), - la cercle intérieur de rayon $2$ est inclus ($r=2$), - la cercle extérieur de rayon $3$ est exclu ($r<3$).

Autrement dit, $$\boxed{\{\,z\in\mathbb C:\ 2\le|z|<3,\ -\tfrac{\pi}{3}\le\arg(z)\le\tfrac{\pi}{2}\,\}},$$ une portion d’anneau délimitée par deux rayons et deux arcs (l’arc intérieur inclus, l’arc extérieur exclu).