Correction

Pour simplifier (a+ib)2+(a−ib)2(a + ib)^2 + (a - ib)^2 en utilisant le fait que a−iba - ib est le conjugué de a+iba + ib et que z+z‾=2×Re(z)z + \bar{z} = 2 \times \text{Re}(z), procédons comme suit :

Étape 1 : Introduction des notations

Soit z=(a+ib)z = (a + ib) et z‾=(a−ib)\bar{z} = (a - ib), qui est le conjugué de zz.

L’expression donnée est : z2+z‾2z^2 + \bar{z}^2

Étape 2 : Propriété de la somme d’un nombre complexe et de son conjugué

On sait que pour tout nombre complexe zz, la somme de zz et de son conjugué z‾\bar{z} est égale à deux fois la partie réelle de zz, c’est-à-dire : z+z‾=2×Re(z)z + \bar{z} = 2 \times \text{Re}(z)

Cela est aussi vrai pour les carrés des nombres complexes. Ainsi, nous avons : z2+z‾2=2×Re(z2)z^2 + \bar{z}^2 = 2 \times \text{Re}(z^2)

Étape 3 : Calcul de la partie réelle de z2z^2

Nous avons z=a+ibz = a + ib. Calculons z2z^2 : z2=(a+ib)2=a2+2aib+(ib)2=a2−b2+2aibz^2 = (a + ib)^2 = a^2 + 2aib + (ib)^2 = a^2 - b^2 + 2aib

La partie réelle de z2z^2 est donc : Re(z2)=a2−b2\text{Re}(z^2) = a^2 - b^2

Étape 4 : Appliquer la formule z2+z‾2z^2 + \bar{z}^2

En utilisant la formule z2+z‾2=2×Re(z2)z^2 + \bar{z}^2 = 2 \times \text{Re}(z^2), nous obtenons : z2+z‾2=2×(a2−b2)z^2 + \bar{z}^2 = 2 \times (a^2 - b^2)

Conclusion

En utilisant le fait que z2+z‾2z^2 + \bar{z}^2 est deux fois la partie réelle de z2z^2, l’expression se simplifie en :

(a+ib)2+(a−ib)2=2(a2−b2)(a + ib)^2 + (a - ib)^2 = 2(a^2 - b^2)