Correction

Pour simplifier $(3 + i)^3$, on peut utiliser la méthode de développement direct.

Étape 1 : Calcul de $(3 + i)^2$

$$(3 + i)^2 = (3 + i)(3 + i)$$ Développons :

$$\begin{align*} & = & 3^2 + 2 \cdot 3 \cdot i + i^2 \\ & = & 9 + 6i + (-1) \quad \text{(puisque $i^2 = -1$)} \\ & = & 8 + 6i \end{align*}$$

Étape 2 : Multiplier $(8 + 6i)$ par $(3 + i)$

$$(3 + i)^3 = (8 + 6i)(3 + i)$$ Développons à nouveau :

$$\begin{align*} &= & 8(3 + i) + 6i(3 + i) \\ &= & (8 \cdot 3) + (8 \cdot i) + (6i \cdot 3) + (6i \cdot i) \\ &= & 24 + 8i + 18i + 6i^2 \\ &= & 24 + 26i + 6(-1) \\ &= & 24 + 26i - 6 \\ &= & 18 + 26i \end{align*}$$

Conclusion

La simplification de $(3 + i)^3$ est :

$$(3 + i)^3 = 18 + 26i$$