Correction

Nous voulons montrer que les solutions de l’équation suivante sont un cercle dans le plan complexe :

$$\text{Re} \left( \frac{z + 2i}{z - 1} \right) = 0$$

où $z = x + iy$, avec $x$ et $y$ les parties réelle et imaginaire de $z$.

Étape 1 : Partie réelle de l’expression

D’après les calculs pour la partie a) la partie réelle de l’expression totale est :

$$\text{Re} \left( \frac{z + 2i}{z - 1} \right) = \frac{x(x - 1) + y^2 + 2y}{(x - 1)^2 + y^2}$$

ChatGPT made a mistake in the sign

$$\text{Re} \left( \frac{z + 2i}{z - 1} \right) = \frac{x(x - 1) - y^2 - 2y}{(x - 1)^2 + y^2}$$

Nous devons résoudre l’équation suivante :

$$(x(x - 1) + y^2 + 2y) = 0$$

Centre et rayon du cercle

L’équation $x(x - 1) + y^2 + 2y = 0$ peut être réécrite sous une forme plus classique pour identifier le centre du cercle.

Étape 1 : Réarranger l’équation

L’équation actuelle est :

$$x(x - 1) + y^2 + 2y = 0$$

Développons le terme en $x$ :

$$x^2 - x + y^2 + 2y = 0$$

Nous cherchons à mettre cette équation sous la forme classique d’un cercle $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, où $(h, k)$ est le centre et $r$ est le rayon.

Étape 2 : Compléter le carré

Commençons par compléter le carré pour les termes en $y$. Nous avons :

$$y^2 + 2y$$

Complétons le carré pour cela. Le terme manquant est $\left(\frac{2}{2}\right)^2 = 1$. Nous ajoutons et soustrayons 1 :

$$y^2 + 2y + 1 - 1 = (y + 1)^2 - 1$$

Ainsi, l’équation devient :

$$x^2 - x + (y + 1)^2 - 1 = 0$$

Étape 3 : Compléter le carré pour $x$

Pour le terme en $x$, nous avons $x^2 - x$. Complétons le carré :

Le terme manquant est $\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$. Nous ajoutons et soustrayons $\frac{1}{4}$ :

$$x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} = \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4}$$

L’équation devient donc :

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{1}{4} + (y + 1)^2 - 1 = 0$$

Étape 4 : Simplifier l’équation

Regroupons les constantes :

$$\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + (y + 1)^2 = \frac{5}{4}$$

Conclusion

L’équation est maintenant sous la forme classique d’un cercle $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$, où :

• Le centre est $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$
• Le rayon est $\frac{\sqrt{5}}{2}$

Le centre du cercle est donc $\left(\frac{1}{2}, -1\right)$.