Résolution de l’équation $Z^2 = 1 + i$ via deux méthodes : forme algébrique et forme exponentielle.

1. Forme exponentielle :

L’équation donnée est $Z^2 = 1 + i$.

• Étape 1 : Conversion de $1 + i$ en forme exponentielle.

La forme exponentielle d’un nombre complexe est donnée par : $$z = r \cdot e^{i \theta}$$ où $r$ est le module et $\theta$ est l’argument.

Pour $1 + i$, on calcule le module : $$r = |1 + i| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ L’argument $\theta$ est l’angle que fait le nombre complexe avec l’axe réel. Pour $1 + i$, il est dans le premier quadrant et on a : $$\theta = \arg(1 + i) = \frac{\pi}{4}$$ Ainsi, $1 + i$ en forme exponentielle est : $$1 + i = \sqrt{2} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}}$$ - Étape 2 : Résolution de $Z^2 = \sqrt{2} \cdot e^{i \frac{\pi}{4}}$

Nous cherchons $Z$ tel que $Z^2 = r \cdot e^{i \theta}$. En prenant la racine carrée des deux côtés, on obtient :

$$Z = \sqrt{\sqrt{2}} \cdot e^{i \frac{\frac{\pi}{4} + 2k\pi}{2}}$$

Cela donne : $$Z = 2^{1/4} \cdot e^{i \frac{\pi}{8} + k\pi}$$ où $k = 0, 1$ pour les deux solutions principales.

• Pour $k = 0$ : $$Z_1 = 2^{1/4} \cdot e^{i \frac{\pi}{8}}$$
• Pour $k = 1$ : $$Z_2 = 2^{1/4} \cdot e^{i \frac{9\pi}{8}}$$

2. Forme algébrique :

L’équation est toujours $Z^2 = 1 + i$. Supposons que $Z = x + iy$ (forme algébrique), où $x$ et $y$ sont réels.

• Étape 1 : Développement de $Z^2$.

Nous avons : $$Z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$$ Cela doit être égal à $1 + i$. En identifiant la partie réelle et la partie imaginaire, on obtient deux équations :

1. Partie réelle : $$x^2 - y^2 = 1$$
2. Partie imaginaire : $$2xy = 1$$
3. Module $$x^2 + y^2 = \sqrt{2}$$

• Étape 2 : Résolution du système.

De (1),(3), on trouve : $$2x^2 = \sqrt{2} + 1 \Rightarrow x^2 = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$2y^2 = \sqrt{2} - 1 \Rightarrow y^2 = \frac{\sqrt{2} - 1}{2}$$ On a que $xy>0$ donc $x$ et $y$ ont le même signe. Les solutions sont donc : $$Z_1 = x + iy = \sqrt{\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} + \sqrt{\left(\frac{\sqrt{2} - 1}{2}\right)}i$$

Conclusion :

ChatGPT ne sait pas tout.