L’équation donnée est ( Z^2 = 1 + i ).
La forme exponentielle d’un nombre complexe est donnée par : [ z = r e^{i } ] où ( r ) est le module et ( ) est l’argument.
Pour ( 1 + i ), on calcule le module : [ r = |1 + i| = = ]
L’argument ( ) est l’angle que fait le nombre complexe avec l’axe réel. Pour ( 1 + i ), il est dans le premier quadrant et on a : [ = (1 + i) = ]
Ainsi, ( 1 + i ) en forme exponentielle est : [ 1 + i = e^{i } ]
Nous cherchons ( Z ) tel que ( Z^2 = r e^{i } ). En prenant la racine carrée des deux côtés, on obtient :
[ Z = e^{i } ]
Cela donne : [ Z = 2^{1/4} e^{i + k} ] où ( k = 0, 1 ) pour les deux solutions principales.
Pour ( k = 0 ) : [ Z_1 = 2^{1/4} e^{i } ]
Pour ( k = 1 ) : [ Z_2 = 2^{1/4} e^{i } ]
L’équation est toujours ( Z^2 = 1 + i ). Supposons que ( Z = x + iy ) (forme algébrique), où ( x ) et ( y ) sont réels.
Nous avons : [ Z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy ] Cela doit être égal à ( 1 + i ). En identifiant la partie réelle et la partie imaginaire, on obtient deux équations :
Partie réelle : [ x^2 - y^2 = 1 ]
Partie imaginaire : [ 2xy = 1 ]
Étape 2 : Résolution du système.
De ( 2xy = 1 ), on trouve : [ xy = ]
Remplaçons ( y ) par ( ) dans la première équation : [ x^2 - ()^2 = 1 ]
Cela donne : [ x^4 - 1 = ] En multipliant par ( 4x^2 ) de chaque côté : [ 4x^6 - 4x^2 = 1 ] qui est une équation en ( x^2 ). Posons ( u = x^2 ), on obtient : [ 4u^3 - 4u - 1 = 0 ]
Cette équation doit être résolue numériquement ou à l’aide de méthodes algébriques spécifiques. Les solutions de ce système donneraient les valeurs de ( x ) et ( y ), puis les deux solutions pour ( Z ).